Considere o espalhamento Compton entre um elétron livre de massa
um fóton de comprimento de onda
onde h é a constante de Planck e c é a
velocidade da luz. Após o espalhamento, a energia do fóton é
de sua energia inicial. Qual os dois possíveis ângulos de espalhamento para este fóton?
velocidade da luz. Após o espalhamento, a energia do fóton é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o espalhamento Compton, que é quando um fóton bate em um elétron livre e troca energia com ele. A questão nos dá o comprimento de onda inicial do fóton e nos diz que, após o espalhamento, a energia do fóton é um terço da que ele tinha antes. Precisamos descobrir quais são os dois ângulos possíveis em que esse fóton pode se espalhar. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do espalhamento Compton, que relaciona a mudança no comprimento de onda com o ângulo de espalhamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do espalhamento Compton:
Aqui:
-
é a mudança no comprimento de onda do fóton. -
é o comprimento de onda inicial. -
é o comprimento de onda após o espalhamento. -
é a constante de Planck. -
é a massa do elétron. -
é a velocidade da luz. -
é o ângulo de espalhamento que queremos encontrar.
Passo 3
A questão nos diz que a energia do fóton após o espalhamento é
da energia inicial. A energia de um fóton está relacionada ao seu comprimento de onda pela fórmula:
Então, se a energia após o espalhamento é
da inicial:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula do Compton:
Então:
Passo 5
Sabemos que o comprimento de onda inicial
é:
Substituindo isso na equação anterior:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 6
Agora, podemos dividir ambos os lados por
(que não é zero):
Isolando
:
Passo 7
Para encontrar
, usamos a função arco cosseno:
Sabemos que:
Resposta
Os dois possíveis ângulos de espalhamento para o fóton são 90°.