Seja
um intervalo da reta. Dizemos que uma propriedade
vale quase sempre (q.s. ou q.t.p.) quando o conjunto dos
para os quais a propriedade
falha, é de medida nula. Por exemplo, uma função
é contínua quase sempre em
quando o conjunto
é descontínua em
é de medida nula. Seja
contínua e suponha
quase sempre em
. Prove que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função contínua
que é zero “quase sempre” no intervalo
. “Quase sempre” significa que a gente pode ter alguns pontos onde
não é zero, mas esses pontos formam um conjunto de medida nula (ou seja, são “pouquíssimos” nesse intervalo). A gente precisa provar que, na verdade,
para todo
em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de medida e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
quase sempre em
. Isso quer dizer que o conjunto
tem medida nula. Em outras palavras, “a maior parte” do intervalo
é onde
é zero.
Passo 3
Como
é contínua em
, a gente pode usar a propriedade de continuidade que diz: se uma função contínua é zero em um conjunto denso, então ela é zero em todo o intervalo. Então, se conseguirmos mostrar que os pontos onde
é zero formam um conjunto denso em
, estaremos prontos.
Passo 4
Sabemos que
tem medida nula. O Complemento de
, ou seja,
, é o conjunto onde
. Como
tem medida zero,
deve ser um conjunto que “cobre” quase todo o intervalo
, e, mais importante, é denso em
.
Passo 5
Um conjunto denso em
significa que, em qualquer subintervalo de
, sempre existe um ponto de
. Assim, para qualquer ponto
em
e para qualquer
, existe um ponto
em
tal que
.
Passo 6
Agora, pela continuidade de
em
, temos que:
Como podemos aproximar
por pontos de
, onde
, o limite de
quando
se aproxima de
é zero. Portanto,
para todo
em
.
Resposta
Assim, mostramos que
para todos os
em
.