Seja I um intervalo da reta. Dizemos que uma propriedade P vale quase sempre (q.s. ou q.t.p.) quando o conjunto dos x in I para os quais a propriedade P falha, é de medida nula. Por exemplo, uma função f: [a, b] -> R é contínua quase sempre em [a, b] quando o conjunto {x in [a, b]: f} é descontínua em x é de medida nula. Seja f: [a, b] -> R contínua e suponha f(x) = 0 quase sempre em [a, b]. Prove que f(x) = 0 para todo x ∈ [a, b].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma função contínua que é zero “quase sempre” no intervalo . “Quase sempre” significa que a gente pode ter alguns pontos onde não é zero, mas esses pontos formam um conjunto de medida nula (ou seja, são “pouquíssimos” nesse intervalo). A gente precisa provar que, na verdade, para todo em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de medida e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que quase sempre em . Isso quer dizer que o conjunto tem medida nula. Em outras palavras, “a maior parte” do intervalo é onde é zero.

Passo 3

Como é contínua em , a gente pode usar a propriedade de continuidade que diz: se uma função contínua é zero em um conjunto denso, então ela é zero em todo o intervalo. Então, se conseguirmos mostrar que os pontos onde é zero formam um conjunto denso em , estaremos prontos.

Passo 4

Sabemos que tem medida nula. O Complemento de , ou seja, , é o conjunto onde . Como tem medida zero, deve ser um conjunto que “cobre” quase todo o intervalo , e, mais importante, é denso em .

Passo 5

Um conjunto denso em significa que, em qualquer subintervalo de , sempre existe um ponto de . Assim, para qualquer ponto em e para qualquer , existe um ponto em tal que .

Passo 6

Agora, pela continuidade de em , temos que:
Como podemos aproximar por pontos de , onde , o limite de quando se aproxima de é zero. Portanto, para todo em .

Resposta

Assim, mostramos que para todos os em .

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