Verifique se a função é harmônica. (Obs.: )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se a função é harmônica. Isso está relacionado com a matéria de equações diferenciais parciais, especificamente com a Equação de Laplace, que é usada para identificar funções harmônicas. Para resolver, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e e verificar se a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a . Como , tratamos como uma constante ao derivar em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a . Basta derivar novamente em relação a :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a . Como é tratado como constante ao derivar em relação a :

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Para verificar se é harmônica, somamos as segundas derivadas parciais:

Resposta

Como a soma das segundas derivadas parciais resulta em zero, a função é harmônica.

Exercícios relacionados

Calcule .
Supondo que , determine .
Você joga uma bola em um ângulo de acima da horizontal em uma parede a de distância. A velocidade inicial da bola é , e deixa sua mão a uma altura de do solo.
(b) Em que altura na parede a bola bate?
Você joga uma bola em um ângulo de acima da horizontal em uma parede a de distância. A velocidade inicial da bola é , e deixa sua mão a uma altura de do solo.
(a) Quanto tempo a bola leva para chegar à parede?