Verifique se a função
é harmônica. (Obs.:
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar se a função
é harmônica. Isso está relacionado com a matéria de equações diferenciais parciais, especificamente com a Equação de Laplace, que é usada para identificar funções harmônicas. Para resolver, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
e verificar se a soma delas é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Como
, tratamos
como uma constante ao derivar em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Basta derivar novamente
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Como
é tratado como constante ao derivar em relação a
:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Para verificar se
é harmônica, somamos as segundas derivadas parciais:
Resposta
Como a soma das segundas derivadas parciais resulta em zero, a função
é harmônica.
Exercícios relacionados
Calcule
.
Supondo que
, determine
.
Você joga uma bola em um ângulo de
acima da horizontal em uma parede a
de distância. A velocidade inicial da bola é
, e deixa sua mão a uma altura de
do solo.
(b) Em que altura na parede a bola bate?
(b)
Você joga uma bola em um ângulo de
acima da horizontal em uma parede a
de distância. A velocidade inicial da bola é
, e deixa sua mão a uma altura de
do solo.
(a) Quanto tempo a bola leva para chegar à parede?
(a)