Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas condições iniciais:
e
. Isso significa que, no tempo
, a função
vale 0 e a derivada de
em
é 1. Nosso objetivo aqui é verificar se a solução
dada atende a essas condições. Para isso, precisamos substituir
na expressão de
e calcular a derivada de
para avaliar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a condição
. Para isso, substituímos
na expressão de
:
Sabemos que
,
e . Substituindo esses valores:
Então, a condição
está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a condição
. Primeiro, precisamos calcular a derivada de
em relação a
. Vamos derivar cada termo da função:
A derivada de usa a regra do produto:
Simplificando:
A derivada de é:
E a derivada de
é:
Juntando tudo, temos a derivada completa:
Agora, vamos avaliar
:
Novamente, sabemos que
,
e . Substituindo:
Então, a condição
também está satisfeita.
Resposta
As condições iniciais
e
são atendidas pela função
fornecida.
Exercícios relacionados
Resolva o problema de valor inicial
para
.
Supondo que
e
satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que
mostre que
Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido
se o campo elétrico for