Supondo que a temperatura uniforme e igual a , qual a densidade do ar a uma altitude de ? Forneça a sua resposta em relação a densidade do ar atmosférico ao nível do mar, denotado por .

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pergunta qual é a densidade do ar a uma altitude de 1 km, sabendo que a temperatura é uniforme e igual a . Além disso, queremos expressar essa densidade em relação à densidade do ar ao nível do mar, que vamos chamar de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a Lei dos Gases Ideais e como a pressão e a densidade do ar mudam com a altitude.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei dos Gases Ideais, que relaciona a pressão ( ), o volume ( ), a temperatura ( ) e a quantidade de gás ( ) através da equação:
Aqui, é a constante dos gases. Podemos rearranjar essa fórmula para expressar a densidade ( ) do ar. Sabemos que a densidade é a massa por volume, então podemos escrever:
Onde é a massa do ar. Como , onde é a massa molar do ar, substituímos na equação dos gases:
Então, temos:

Passo 3

Agora, precisamos entender como a pressão ( ) varia com a altitude. Para isso, usamos a Lei de Exponencialização Barométrica, que nos diz que, em um ambiente com temperatura constante (isotérmico), a pressão diminui exponencialmente com a altitude ( ):
Onde:
  • é a pressão ao nível do mar,
  • é a aceleração da gravidade ( ²),
  • é a altitude (1 km = 1000 m),
  • é a massa molar do ar ( ),
  • é a constante dos gases ( ),
  • é a temperatura ( ).

Passo 4

Substituindo a expressão da pressão na fórmula da densidade que obtivemos no Passo 2, temos:
Aqui, é a densidade ao nível do mar.

Passo 5

Agora, vamos calcular o expoente com os valores fornecidos:
²
Calculando o valor:

Passo 6

Agora, substituímos esse valor na equação da densidade:
Isso significa que a densidade do ar a 1 km de altitude é aproximadamente da densidade ao nível do mar.

Resposta

A densidade do ar a uma altitude de 1 km é aproximadamente .

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