Supondo que a temperatura uniforme e igual a
, qual a densidade do ar a uma altitude de
? Forneça a sua resposta em relação a densidade do ar atmosférico ao nível do mar, denotado por
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício que pergunta qual é a densidade do ar a uma altitude de 1 km, sabendo que a temperatura é uniforme e igual a
. Além disso, queremos expressar essa densidade em relação à densidade do ar ao nível do mar, que vamos chamar de
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre a Lei dos Gases Ideais e como a pressão e a densidade do ar mudam com a altitude.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei dos Gases Ideais, que relaciona a pressão (
), o volume (
), a temperatura (
) e a quantidade de gás (
) através da equação:
Aqui,
é a constante dos gases. Podemos rearranjar essa fórmula para expressar a densidade (
) do ar. Sabemos que a densidade é a massa por volume, então podemos escrever:
Onde
é a massa do ar. Como
, onde
é a massa molar do ar, substituímos na equação dos gases:
Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos entender como a pressão (
) varia com a altitude. Para isso, usamos a Lei de Exponencialização Barométrica, que nos diz que, em um ambiente com temperatura constante (isotérmico), a pressão diminui exponencialmente com a altitude (
):
Onde:
-
é a pressão ao nível do mar, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altitude (1 km = 1000 m), -
é a massa molar do ar ( ), -
é a constante dos gases ( ), -
é a temperatura ( ).
Passo 4
Substituindo a expressão da pressão na fórmula da densidade que obtivemos no Passo 2, temos:
Aqui,
é a densidade ao nível do mar.
Passo 5
Agora, vamos calcular o expoente
com os valores fornecidos:
Calculando o valor:
Passo 6
Agora, substituímos esse valor na equação da densidade:
Isso significa que a densidade do ar a 1 km de altitude é aproximadamente
da densidade ao nível do mar.
Resposta
A densidade do ar a uma altitude de 1 km é aproximadamente
.
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