Sabendo que y = y(x), determine d/y d/x, através da diferenciação implícita.
(x-12)² - 3xy + y² = 0.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício que pede pra encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, , usando a diferenciação implícita. A equação que a gente vai trabalhar é . Vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar como derivar funções que têm y, que é uma função de x.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é diferenciação implícita. Quando a equação relaciona x e y de uma forma que y não está isolada, a gente usa essa técnica para encontrar . Isso significa que vamos derivar cada termo da equação em relação a x, tratando y como uma função de x.

Passo 3

Vamos começar derivando cada termo da equação com respeito a x.
  1. Derivando :
    Usamos a regra da potência: a derivada de é . Aqui, , então:
  2. Derivando :
    Aqui, temos um produto de duas funções: x e y. Usamos a regra do produto: . Então:
  3. Derivando y^2:
    Usamos a regra da potência novamente, lembrando que y é função de x:

Passo 4

Agora, colocamos todas as derivadas de volta na equação original derivada:

Passo 5

Vamos rearranjar essa equação para isolar . Primeiro, distribua o -3:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 6

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados da equação por :
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por -1:

Resposta

A derivada de y em relação a x é:

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