Sabendo que
, determine
, através da diferenciação implícita.
.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício que pede pra encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja,
, usando a diferenciação implícita. A equação que a gente vai trabalhar é
. Vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar como derivar funções que têm y, que é uma função de x.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é diferenciação implícita. Quando a equação relaciona x e y de uma forma que y não está isolada, a gente usa essa técnica para encontrar
. Isso significa que vamos derivar cada termo da equação em relação a x, tratando y como uma função de x.
Passo 3
Vamos começar derivando cada termo da equação
com respeito a x.
-
Derivando
:
Usamos a regra da potência: a derivada deé . Aqui, , então: -
Derivando
:
Aqui, temos um produto de duas funções: x e y. Usamos a regra do produto:. Então: -
Derivando
:
Usamos a regra da potência novamente, lembrando que y é função de x:
Passo 4
Agora, colocamos todas as derivadas de volta na equação original derivada:
Passo 5
Vamos rearranjar essa equação para isolar
. Primeiro, distribua o -3:
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 6
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados da equação por
:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por -1:
Resposta
A derivada de y em relação a x é:
Exercícios relacionados
§
.
Encontre a série de Maclaurin de
usando as séries conhecidas.
;
Use séries de potências para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
, erro
;
Suponha que
. Para qual valor de
a área da região limitada pelas curvas
e
é igual a área da região limitada pelas curvas
e
?