Use séries de potências para aproximar a integral definida com a precisão indicada.
integral0^1 sen(x^4) d x, erro <10^-4;

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de de 0 a 1 usando séries de potências, garantindo que o erro seja menor que . Para resolver isso, vamos precisar conhecer séries de potências, integrais e como estimar o erro em aproximações.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a função seno pode ser expandida em uma série de potências usando a série de Taylor:
sin(z) = sumn=0^infty (-1)^n z^2n + 1(2n + 1)!
No nosso caso, temos sin(x^4) = sumn=0^infty (-1)^n (x^4)^2n + 1(2n + 1)! = sumn=0^infty (-1)^n x^8n + 4(2n + 1)! . Então, substituímos por :

Passo 3

Agora, vamos integrar termo a termo de 0 a 1:
integral0^1 sin(x^4) , dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n + 1)! integral0^1 x^8n + 4 , dx

Passo 4

Calculando a integral de cada termo:
integral0^1 x^8n + 4 , dx = x^8n + 58n + 5 |0^1 = 18n + 5
Então, a série se torna:
integral0^1 sin(x^4) , dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n + 1)! cdot (8n + 5)

Passo 5

Para garantir que o erro seja menor que (-1)^01! cdot 5 = 15 = 0,2000 , vamos somar os termos da série até que o próximo termo seja menor que (-1)^13! cdot 13 = -16 cdot 13 = -0,0128 .
Vamos calcular os primeiros termos:
  • Para n = 0:
    (-1)^25! cdot 21 = 1120 cdot 21 = 0,0003968
  • Para n = 1:
    (-1)^37! cdot 29 = -15040 cdot 29 approx -0,0000068
  • Para n = 2:
  • Para n = 3:
Observamos que para , o termo já é menor que .

Resposta

Somando os termos até 0,2000 - 0,0128 + 0,0003968 approx 0,1876 :
Portanto, uma aproximação para a integral com erro menor que é aproximadamente 0,1876.

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