O tempo
, em minutos, necessários para um operário processar uma certa peça é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade
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2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
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0.1 | 0.1 | 0.3 | 0.2 | 0.2 | 0.1 |
Obtenha a variância e a função de distribuição acumulada associada a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória $ t $, que representa o tempo que um operário leva para processar uma peça. Temos uma tabela com os tempos possíveis e suas respectivas probabilidades. O que queremos descobrir é a variância dessa variável e a função de distribuição acumulada associada a ela. Para isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade e estatística, como média (ou valor esperado) e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média (ou valor esperado) de $ t $, que é essencial para encontrar a variância. A média é calculada multiplicando cada valor de $ t $ pela sua probabilidade e somando todos esses produtos. A fórmula é:
Passo 3
Vamos fazer os cálculos:
Então, a média $ E[t] = 4.6 $ minutos.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ E[t^2] $, que é a média dos quadrados dos tempos. A fórmula é:
Vamos calcular:
Então, $ E[t^2] = 22.2 $.
Passo 5
Com $ E[t] $ e $ E[t^2] $ em mãos, podemos calcular a variância usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Então, a variância de $ t $ é 1.04.
Passo 6
Agora, vamos construir a função de distribuição acumulada (FDC). A FDC nos mostra a probabilidade de $ t $ ser menor ou igual a um determinado valor. Para cada valor de $ t $, somamos as probabilidades de todos os valores anteriores e do próprio.
Vamos organizar:
- Para $ t = 2 $:
- Para $ t = 3 $:
- Para $ t = 4 $:
- Para $ t = 5 $:
- Para $ t = 6 $:
- Para $ t = 7 $:
Resposta
A variância da variável $ t $ é 1.04 e a função de distribuição acumulada associada a $ f $ é: