O tempo t, em minutos, necessários para um operário processar uma certa peça é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade
t 2 3 4 5 6 7
f(x) 0.1 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1
Obtenha a variância e a função de distribuição acumulada associada a f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma variável aleatória $ t $, que representa o tempo que um operário leva para processar uma peça. Temos uma tabela com os tempos possíveis e suas respectivas probabilidades. O que queremos descobrir é a variância dessa variável e a função de distribuição acumulada associada a ela. Para isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade e estatística, como média (ou valor esperado) e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média (ou valor esperado) de $ t $, que é essencial para encontrar a variância. A média é calculada multiplicando cada valor de $ t $ pela sua probabilidade e somando todos esses produtos. A fórmula é:
t

Passo 3

Vamos fazer os cálculos:
E[t] = 2 cdot 0.1 + 3 cdot 0.1 + 4 cdot 0.3 + 5 cdot 0.2 + 6 cdot 0.2 + 7 cdot 0.1
E[t] = 0.2 + 0.3 + 1.2 + 1.0 + 1.2 + 0.7 = 4.6
Então, a média $ E[t] = 4.6 $ minutos.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ E[t^2] $, que é a média dos quadrados dos tempos. A fórmula é:
E[t^2]
Vamos calcular:
E[t^2] = sum t^2 cdot f(t)
E[t^2] = 2^2 cdot 0.1 + 3^2 cdot 0.1 + 4^2 cdot 0.3 + 5^2 cdot 0.2 + 6^2 cdot 0.2 + 7^2 cdot 0.1
E[t^2] = 4 cdot 0.1 + 9 cdot 0.1 + 16 cdot 0.3 + 25 cdot 0.2 + 36 cdot 0.2 + 49 cdot 0.1
Então, $ E[t^2] = 22.2 $.

Passo 5

Com $ E[t] $ e $ E[t^2] $ em mãos, podemos calcular a variância usando a fórmula:
E[t]
Substituindo os valores:
E[t^2]
Então, a variância de $ t $ é 1.04.

Passo 6

Agora, vamos construir a função de distribuição acumulada (FDC). A FDC nos mostra a probabilidade de $ t $ ser menor ou igual a um determinado valor. Para cada valor de $ t $, somamos as probabilidades de todos os valores anteriores e do próprio.
Vamos organizar:
  • Para $ t = 2 $:
t
  • Para $ t = 3 $:
t
  • Para $ t = 4 $:
t = 2
  • Para $ t = 5 $:
F(2) = 0.1
  • Para $ t = 6 $:
t = 3
  • Para $ t = 7 $:
F(3) = F(2) + 0.1 = 0.1 + 0.1 = 0.2

Resposta

A variância da variável $ t $ é 1.04 e a função de distribuição acumulada associada a $ f $ é:
t

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