Suponha que falhas em determinada máquina ocorram com mesma frequência. Dependendo do tipo de falha, o técnico pode levar 1, 2, 3, 4 ou 5 horas para concertar a máquina.
Qual é o tempo médio de reparo desta máquina? E qual é a variância deste tempo de concerto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma máquina que dá falha e pode demorar 1, 2, 3, 4 ou 5 horas para ser consertada, todas as opções com a mesma chance. Nosso objetivo é descobrir qual é o tempo médio de reparo dessa máquina e também a variância desse tempo.
Estamos no campo da estatística básica, especificamente lidando com média (valor esperado) e variância. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média dos tempos de reparo e depois a variância, usando as probabilidades de cada tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os possíveis tempos de reparo: 1, 2, 3, 4 e 5 horas. Como todas essas opções têm a mesma frequência de ocorrência, cada uma tem uma probabilidade de $ \frac{1}{5} $ ou 20%.

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo médio de reparo. Para isso, usamos a fórmula do valor esperado:
E(X) = sum x cdot P(x)
Onde:
  • $ E(X) $ é o valor esperado (média).
  • $ x $ são os valores possíveis (1, 2, 3, 4, 5).
  • $ P(x) $ é a probabilidade de cada valor.

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula:
E(X) = 1 cdot 15 + 2 cdot 15 + 3 cdot 15 + 4 cdot 15 + 5 cdot 15
E(X) = 1 + 2 + 3 + 4 + 55
E(X) = 155 = 3
Então, o tempo médio de reparo é 3 horas.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância do tempo de reparo. A variância nos mostra o quanto os valores estão espalhados em torno da média. A fórmula para a variância é:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Primeiro, precisamos calcular $ E(X^2) $, que é o valor esperado dos quadrados dos tempos de reparo.

Passo 6

Calculando $ E(X^2) $:
E(X^2)
E(X^2) = 1^2 cdot 15 + 2^2 cdot 15 + 3^2 cdot 15 + 4^2 cdot 15 + 5^2 cdot 15
E(X^2) = 1 + 4 + 9 + 16 + 255

Passo 7

Agora, aplicando na fórmula da variância:
Var(X) = 11 - (3)^2
Var(X) = 11 - 9
Var(X) = 2
Então, a variância do tempo de reparo é 2 horas².

Resposta

O tempo médio de reparo é de 3 horas e a variância do tempo de concerto é de 2 horas².

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