Suponha que falhas em determinada máquina ocorram com mesma frequência. Dependendo do tipo de falha, o técnico pode levar 1, 2, 3, 4 ou 5 horas para concertar a máquina.
Qual é o tempo médio de reparo desta máquina? E qual é a variância deste tempo de concerto?
Qual é o tempo médio de reparo desta máquina? E qual é a variância deste tempo de concerto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma máquina que dá falha e pode demorar 1, 2, 3, 4 ou 5 horas para ser consertada, todas as opções com a mesma chance. Nosso objetivo é descobrir qual é o tempo médio de reparo dessa máquina e também a variância desse tempo.
Estamos no campo da estatística básica, especificamente lidando com média (valor esperado) e variância. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média dos tempos de reparo e depois a variância, usando as probabilidades de cada tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os possíveis tempos de reparo: 1, 2, 3, 4 e 5 horas. Como todas essas opções têm a mesma frequência de ocorrência, cada uma tem uma probabilidade de $ \frac{1}{5} $ ou 20%.
Passo 3
Agora, vamos calcular o tempo médio de reparo. Para isso, usamos a fórmula do valor esperado:
Onde:
- $ E(X) $ é o valor esperado (média).
- $ x $ são os valores possíveis (1, 2, 3, 4, 5).
- $ P(x) $ é a probabilidade de cada valor.
Passo 4
Aplicando os valores na fórmula:
Então, o tempo médio de reparo é 3 horas.
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância do tempo de reparo. A variância nos mostra o quanto os valores estão espalhados em torno da média. A fórmula para a variância é:
Primeiro, precisamos calcular $ E(X^2) $, que é o valor esperado dos quadrados dos tempos de reparo.
Passo 6
Calculando $ E(X^2) $:
Passo 7
Agora, aplicando na fórmula da variância:
Então, a variância do tempo de reparo é 2 horas².
Resposta
O tempo médio de reparo é de 3 horas e a variância do tempo de concerto é de 2 horas².