Calcule a velocidade limite de uma gotícula de óleo ( D=1,5 mu m e rho=840 kg / m^3 ) e outra de neblina (diâmetro =0,2 mm ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a velocidade limite, ou seja, a velocidade com que essas gotículas caem até não acelerarem mais. O conteúdo aqui é sobre velocidade terminal de partículas em fluidos. Para isso, vamos precisar da fórmula que relaciona o diâmetro da gotícula, a densidade do material da gotícula, a densidade do ar e a viscosidade do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da velocidade terminal. A velocidade terminal $ v_t $ pode ser calculada usando a seguinte equação derivada da Lei de Stokes:
vt
Onde:
  • $ r $ é o raio da gotícula,
  • $ \rho_p $ é a densidade da partícula (óleo ou água),
  • $ \rho_f $ é a densidade do fluido (ar),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ( vt = 29 cdot (r)^2 cdot (rhop - rhof) cdot geta ),
  • $ \eta $ é a viscosidade dinâmica do fluido (para o ar, aproximadamente r ).

Passo 3

Vamos calcular a velocidade terminal da gotícula de óleo. Primeiro, precisamos converter o diâmetro para o raio:
D = 1,5 , mu m = 1,5 times 10^-6 , m Rightarrow r = D2 = 0,75 times 10^-6 , m
A densidade do óleo $ \rho_p $ é rhop . A densidade do ar $ \rho_f $ é aproximadamente 840 , kg/m^3.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:
vt = 29 cdot (0,75 times 10^-6)^2 cdot (840 - 1,2) cdot 9,811,81 times 10^-5
Primeiro, calculamos $ ®^2 $:
(r)^2
Depois, a diferença de densidades:
(0,75 times 10^-6)^2 = 0,5625 times 10^-12 , m^2

Passo 5

Agora, multiplicamos tudo:
vt = 29 cdot 0,5625 times 10^-12 cdot 838,8 cdot 9,811,81 times 10^-5
Calculando o numerador:
0,5625 times 10^-12 cdot 838,8 cdot 9,81 approx 4,63 times 10^-9
Dividindo pelo denominador:
4,63 times 10^-91,81 times 10^-5 approx 2,56 times 10^-4
Multiplicando por $ \frac{2}{9} $:
29

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade terminal da gotícula de neblina com diâmetro de 0,2 , mm = 0,2 times 10^-3 , m. O raio $ r $ será:
r
Assumindo que a neblina é água, a densidade $ \rho_p $ é r = 0,2 times 10^-32 = 0,1 times 10^-3 , m .

Passo 7

Substituindo na fórmula:
vt = 29 cdot (0,1 times 10^-3)^2 cdot (1000 - 1,2) cdot 9,811,81 times 10^-5
Calculando $ ®^2 $:
(r)^2
Diferença de densidades:
(0,1 times 10^-3)^2 = 0,01 times 10^-6 , m^2

Passo 8

Multiplicando tudo:
vt = 29 cdot 0,01 times 10^-6 cdot 998,8 cdot 9,811,81 times 10^-5
Calculando o numerador:
0,01 times 10^-6 cdot 998,8 cdot 9,81 approx 9,81 times 10^-5
Dividindo pelo denominador:
9,81 times 10^-51,81 times 10^-5 approx 5,42
Multiplicando por $ \frac{2}{9} $:
29

Resposta

A velocidade limite da gotícula de óleo é aproximadamente 5,69 times 10^-5 , m/s e da gotícula de neblina é aproximadamente 1,21 , m/s.

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