Dado um sistema homogêneo com solução diferente da trivial: ii) Se X e Y são soluções, então X + Y também é solução; ii) Se X é solução, então
também é solução, para
qualquer escalar real.
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema linear homogêneo, que é um sistema de equações do tipo
, onde
é uma matriz de coeficientes e
é o vetor nulo. O sistema tem soluções diferentes da trivial (ou seja, além da solução onde todas as variáveis são zero). Queremos mostrar duas propriedades importantes dessas soluções:
- Soma de soluções: Se
e são soluções, então também é uma solução. - Multiplicação por escalar: Se
é uma solução, então também é uma solução, onde é qualquer número real.
Para isso, vamos precisar entender como essas operações funcionam dentro de sistemas lineares homogêneos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma solução de um sistema homogêneo. Uma solução
satisfaz a equação
. Isso significa que, quando substituímos
na equação, obtemos o vetor zero.
Passo 3
Vamos provar a primeira propriedade: se
e
são soluções, então
também é solução.
Sabemos que:
Agora, somamos essas duas equações:
Portanto,
também satisfaz
, ou seja, é uma solução do sistema.
Passo 4
Agora, vamos provar a segunda propriedade: se
é uma solução, então
também é solução para qualquer escalar real
.
Sabemos que:
Multiplicamos ambos os lados da equação por
:
Isso mostra que
também satisfaz a equação
, ou seja, é uma solução do sistema.
Resposta
Mostramos que, em um sistema homogêneo com soluções não triviais, a soma de duas soluções
também é solução, e qualquer múltiplo escalar
de uma solução
também é solução.