Dado um sistema homogêneo com solução diferente da trivial: ii) Se X e Y são soluções, então X + Y também é solução; ii) Se X é solução, então também é solução, para qualquer escalar real.
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema linear homogêneo, que é um sistema de equações do tipo , onde é uma matriz de coeficientes e é o vetor nulo. O sistema tem soluções diferentes da trivial (ou seja, além da solução onde todas as variáveis são zero). Queremos mostrar duas propriedades importantes dessas soluções:
Soma de soluções: Se e são soluções, então também é uma solução.
Multiplicação por escalar: Se é uma solução, então também é uma solução, onde é qualquer número real.
Para isso, vamos precisar entender como essas operações funcionam dentro de sistemas lineares homogêneos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma solução de um sistema homogêneo. Uma solução satisfaz a equação . Isso significa que, quando substituímos na equação, obtemos o vetor zero.
Passo 3
Vamos provar a primeira propriedade: se e são soluções, então também é solução.
Sabemos que:
Agora, somamos essas duas equações:
Portanto, também satisfaz , ou seja, é uma solução do sistema.
Passo 4
Agora, vamos provar a segunda propriedade: se é uma solução, então também é solução para qualquer escalar real .
Sabemos que:
Multiplicamos ambos os lados da equação por :
Isso mostra que também satisfaz a equação , ou seja, é uma solução do sistema.
Resposta
Mostramos que, em um sistema homogêneo com soluções não triviais, a soma de duas soluções também é solução, e qualquer múltiplo escalar de uma solução também é solução.