Dado um sistema homogêneo com solução diferente da trivial: ii) Se X e Y são soluções, então X + Y também é solução; ii) Se X é solução, então alpha X também é solução, para alpha qualquer escalar real.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema linear homogêneo, que é um sistema de equações do tipo , onde é uma matriz de coeficientes e é o vetor nulo. O sistema tem soluções diferentes da trivial (ou seja, além da solução onde todas as variáveis são zero). Queremos mostrar duas propriedades importantes dessas soluções:
  1. Soma de soluções: Se e são soluções, então também é uma solução.
  2. Multiplicação por escalar: Se é uma solução, então também é uma solução, onde é qualquer número real.
Para isso, vamos precisar entender como essas operações funcionam dentro de sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma solução de um sistema homogêneo. Uma solução satisfaz a equação . Isso significa que, quando substituímos na equação, obtemos o vetor zero.

Passo 3

Vamos provar a primeira propriedade: se AX = 0 e AY = 0 são soluções, então AX + AY = 0 + 0 também é solução.
Sabemos que:
A(X + Y) = 0
Agora, somamos essas duas equações:
Portanto, também satisfaz , ou seja, é uma solução do sistema.

Passo 4

Agora, vamos provar a segunda propriedade: se AX = 0 é uma solução, então alpha AX = alpha 0 também é solução para qualquer escalar real A(alpha X) = 0 .
Sabemos que:
Multiplicamos ambos os lados da equação por :
Isso mostra que também satisfaz a equação , ou seja, é uma solução do sistema.

Resposta

Mostramos que, em um sistema homogêneo com soluções não triviais, a soma de duas soluções também é solução, e qualquer múltiplo escalar de uma solução também é solução.

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