Verifique que se A e B são independentes então o serão A e barB, barA e B, barA e barB

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar que, se os eventos e são independentes, então também serão independentes e , e , e e . Vamos trabalhar com a probabilidade de eventos independentes e usar algumas propriedades básicas de probabilidades para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos P(A cap B) = P(A) times P(B) e são independentes se a probabilidade de ambos ocorrerem juntos é igual ao produto das probabilidades individuais deles. Em fórmulas:
Isso é importante porque vamos usar essa relação para provar as outras independências.

Passo 3

Agora, vamos provar que P(A cap B) = P(A) times P(B) e P(A cap B) = P(A) - P(A cap B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1 - P(B)) = P(A) times P(B) são independentes. Precisamos mostrar que:
Sabemos que . Além disso, como e são independentes:
Então, e são independentes.

Passo 4

Vamos agora provar que P(A cap B) = P(A) times P(B) e P(A cap B) = P(B) - P(A cap B) = P(B) - P(A)P(B) = (1 - P(A))P(B) = P(A) times P(B) são independentes. Precisamos mostrar que:
De forma semelhante ao passo anterior:
Portanto, e são independentes.

Passo 5

Por fim, vamos provar que P(A cap B) = P(A) times P(B) e P(A cap B) = 1 - P(A) - P(B) + P(A cap B) são independentes. Precisamos mostrar que:
P(A cap B) = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = P(A) times P(B)
Usando a regra da probabilidade total:
Como e são independentes:
Assim, e também são independentes.

Resposta

Concluímos que, se e são eventos independentes, então e , e , e e também são independentes.

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