Suponha que de um baralho sejam retiradas duas cartas, ao acaso e com reposição. Seja X a v.a. que representa o número de ases e seja Y a v.a. que representa o número de damas.
Estabeleça a distribuição conjunta do vetor aleatório (X, Y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve Probabilidade, especificamente sobre variáveis aleatórias e suas distribuições conjuntas. Precisamos determinar como as variáveis que contam o número de ases ( X) e damas ( Y) se comportam quando retiramos duas cartas de um baralho com reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “retirada com reposição”. Isso quer dizer que, após retirar uma carta, a colocamos de volta no baralho antes de tirar a próxima. Assim, cada retirada é independente e as probabilidades permanecem as mesmas em cada etapa.

Passo 3

Um baralho padrão tem 52 cartas, sendo que há 4 ases e 4 damas. Como as retiradas são com reposição, a probabilidade de tirar um ás ou uma dama permanece constante em cada tentativa.

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades básicas:
  • Probabilidade de tirar um ás em uma retirada:
    P(As) = 452 = 113
  • Probabilidade de tirar uma dama em uma retirada:
    P(Dama) = 452 = 113
  • Probabilidade de tirar uma carta que não seja nem ás nem dama:
    P(Outras) = 1 - P(As) - P(Dama) = 1 - 113 - 113 = 1113

Passo 5

Como estamos tirando duas cartas com reposição, precisamos considerar todas as combinações possíveis das retiradas para determinar a distribuição conjunta de (X, Y). As variáveis X e Y podem assumir os seguintes valores:
  • X: número de ases, pode ser 0, 1 ou 2.
  • Y: número de damas, pode ser 0, 1 ou 2.

Passo 6

Vamos listar todas as possíveis combinações de (X, Y) e calcular suas probabilidades:
  1. (0, 0): Nenhum ás e nenhuma dama nas duas retiradas.
    P(X=0, Y=0) = (1113)^2 = 121169
  2. (0, 1): Nenhum ás e exatamente uma dama.
    P(X=0, Y=1) = 2 times 1113 times 113 = 22169
  3. (0, 2): Nenhum ás e duas damas.
    P(X=0, Y=2) = (113)^2 = 1169
  4. (1, 0): Exatamente um ás e nenhuma dama.
    P(X=1, Y=0) = 2 times 113 times 1113 = 22169
  5. (1, 1): Exatamente um ás e uma dama.
    P(X=1, Y=1) = 2 times 113 times 113 = 2169
  6. (2, 0): Dois ases e nenhuma dama.
    P(X=2, Y=0) = (113)^2 = 1169
  7. Outras combinações: Como tiramos apenas duas cartas, não é possível ter mais de duas ases ou damas, então as demais combinações têm probabilidade zero.

Resposta

A distribuição conjunta do vetor aleatório (X, Y) é dada por:
c|ccc (X, Y) & 0 & 1 & 2 hline 0 & 121169 & 22169 & 1169 1 & 22169 & 2169 & 0 2 & 1169 & 0 & 0

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