Suponha que de um baralho sejam retiradas duas cartas, ao acaso e com reposição. Seja
a v.a. que representa o número de ases e seja
a v.a. que representa o número de damas.
Estabeleça a distribuição conjunta do vetor aleatório
.
Estabeleça a distribuição conjunta do vetor aleatório
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão envolve Probabilidade, especificamente sobre variáveis aleatórias e suas distribuições conjuntas. Precisamos determinar como as variáveis que contam o número de ases (
) e damas (
) se comportam quando retiramos duas cartas de um baralho com reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “retirada com reposição”. Isso quer dizer que, após retirar uma carta, a colocamos de volta no baralho antes de tirar a próxima. Assim, cada retirada é independente e as probabilidades permanecem as mesmas em cada etapa.
Passo 3
Um baralho padrão tem 52 cartas, sendo que há 4 ases e 4 damas. Como as retiradas são com reposição, a probabilidade de tirar um ás ou uma dama permanece constante em cada tentativa.
Passo 4
Vamos calcular as probabilidades básicas:
-
Probabilidade de tirar um ás em uma retirada:
-
Probabilidade de tirar uma dama em uma retirada:
-
Probabilidade de tirar uma carta que não seja nem ás nem dama:
Passo 5
Como estamos tirando duas cartas com reposição, precisamos considerar todas as combinações possíveis das retiradas para determinar a distribuição conjunta de
. As variáveis
e
podem assumir os seguintes valores:
-
: número de ases, pode ser 0, 1 ou 2. -
: número de damas, pode ser 0, 1 ou 2.
Passo 6
Vamos listar todas as possíveis combinações de
e calcular suas probabilidades:
-
: Nenhum ás e nenhuma dama nas duas retiradas. -
: Nenhum ás e exatamente uma dama. -
: Nenhum ás e duas damas. -
: Exatamente um ás e nenhuma dama. -
: Exatamente um ás e uma dama. -
: Dois ases e nenhuma dama. -
Outras combinações: Como tiramos apenas duas cartas, não é possível ter mais de duas ases ou damas, então as demais combinações têm probabilidade zero.
Resposta
A distribuição conjunta do vetor aleatório
é dada por: