Suponha que, em certa empresa de produtos eletrônicos, a organização da produção seja tal que o custo total C em reais para produzir uma quantidade q de determinado produto seja apresentado pela função C(q) = q² – 1 000q + 800 000 (C em reais, q em unidades do produto).
a) Represente um esboço do gráfico de C(q).
b) Quando a empresa não produz nenhum produto, existe custo de produção? Explique.
c) Determine o nível de produção (valor de q) que minimiza o custo total C e calcule o valor do custo mínimo.
d) Qual o nível de produção que corresponde a um custo de R$ 800.000,00?
e) Para obter um lucro maior, o empresário escolheria produzir 300 ou 700 peças? Junto com seu colega justifique a possível escolha.
a) Represente um esboço do gráfico de C(q).
b) Quando a empresa não produz nenhum produto, existe custo de produção? Explique.
c) Determine o nível de produção (valor de q) que minimiza o custo total C e calcule o valor do custo mínimo.
d) Qual o nível de produção que corresponde a um custo de R$ 800.000,00?
e) Para obter um lucro maior, o empresário escolheria produzir 300 ou 700 peças? Junto com seu colega justifique a possível escolha.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma função de custo total $ C(q) = q^2 - 1000q + 800000 $, onde $ C $ é o custo em reais e $ q $ é a quantidade de produtos. O conteúdo aqui envolve funções quadráticas e otimização de custos. Vamos precisar desenhar gráficos, analisar valores quando $ q = 0 $, encontrar o mínimo da função e resolver equações quadráticas.
Passo 2
a) Representar um esboço do gráfico de $ C(q) $.
Primeiro, vamos entender a forma do gráfico. A função $ C(q) = q^2 - 1000q + 800000 $ é uma parábola que abre para cima porque o coeficiente de $ q^2 $ é positivo. Para esboçar o gráfico, precisamos de alguns pontos:
- Quando $ q = 0 $, $ C(0) = 0^2 - 1000*0 + 800000 = 800000 $.
- Vamos encontrar o vértice da parábola, que nos dá o mínimo custo.
b) Quando a empresa não produz nenhum produto, existe custo de produção? Explique.
Sim, existe um custo de produção quando $ q = 0 $. Substituindo na função, temos $ C(0) = 800000 $ reais. Isso representa custos fixos, que são despesas que a empresa tem mesmo sem produzir nada, como aluguel, salários fixos, etc.
Passo 3
c) Determinar o nível de produção $ q $ que minimiza o custo total $ C $ e calcular o valor do custo mínimo.
Para encontrar o mínimo da função quadrática, usamos a fórmula do vértice $ q_v = -\frac{b}{2a} $.
Aqui, $ a = 1 $ e $ b = -1000 $.
Então,
Agora, substituímos $ q_v $ na função para encontrar o custo mínimo:
Passo 4
d) Qual o nível de produção que corresponde a um custo de R$ 800.000,00?
Queremos resolver $ C(q) = 800000 $:
Subtraindo 800000 de ambos os lados:
Fatorando:
Então, $ q = 0 $ ou $ q = 1000 $.
Passo 5
e) Para obter um lucro maior, o empresário escolheria produzir 300 ou 700 peças? Junto com seu colega justifique a possível escolha.
Primeiro, vamos calcular o custo para $ q = 300 $ e $ q = 700 $:
Para $ q = 300 $:
Para $ q = 700 $:
Ambos os níveis de produção resultam no mesmo custo. Porém, para otimizar o lucro, o empresário deve considerar outros fatores como demanda, capacidade de produção e custos adicionais que possam variar com a quantidade produzida. Se ambos têm o mesmo custo, a escolha pode depender de qual quantidade atende melhor ao mercado ou maximiza a eficiência operacional.
Resposta
a) O gráfico de $ C(q) = q^2 - 1000q + 800000 $ é uma parábola que abre para cima, com o vértice localizado em $ q = 500 $ e $ C(500) = 550000 $ reais.
b) Sim, quando $ q = 0 $, o custo de produção é R$ 800.000,00, representando custos fixos.
c) O nível de produção que minimiza o custo total é $ q = 500 $ unidades, com um custo mínimo de R$ 550.000,00.
d) O nível de produção que corresponde a um custo de R$ 800.000,00 é $ q = 0 $ ou $ q = 1000 $ unidades.
e) Tanto produzir 300 quanto 700 peças resultam no mesmo custo de R$ 590.000,00. A escolha dependeria de outros fatores como demanda e eficiência operacional para maximizar o lucro.
b) Sim, quando $ q = 0 $, o custo de produção é R$ 800.000,00, representando custos fixos.
c) O nível de produção que minimiza o custo total é $ q = 500 $ unidades, com um custo mínimo de R$ 550.000,00.
d) O nível de produção que corresponde a um custo de R$ 800.000,00 é $ q = 0 $ ou $ q = 1000 $ unidades.
e) Tanto produzir 300 quanto 700 peças resultam no mesmo custo de R$ 590.000,00. A escolha dependeria de outros fatores como demanda e eficiência operacional para maximizar o lucro.