Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. São retiradas 5 bolas com reposição dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo o número de bolas verdes entre as bolas retiradas. Dê o que se pede:
a) defina a distribuição da v.a. X e seu gráfico (verifique se a distribuição segue algum modelo conhecido e, se sim, justifique);
a) defina a distribuição da v.a. X e seu gráfico (verifique se a distribuição segue algum modelo conhecido e, se sim, justifique);
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma urna com 30 bolas brancas e 20 bolas verdes, totalizando 50 bolas. A gente vai retirar 5 bolas, sempre colocando de volta (com reposição). A variável aleatória
representa o número de bolas verdes que saem nessas 5 retiradas. Nosso objetivo aqui é definir qual é a distribuição dessa variável
e desenhar o gráfico dessa distribuição. Para isso, vamos precisar entender sobre distribuições de probabilidade, especialmente a distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, como as retiradas são com reposição, cada retirada é independente das anteriores. Isso significa que a probabilidade de tirar uma bola verde sempre será a mesma em cada retirada. A gente pode calcular essa probabilidade
dividindo o número de bolas verdes pelo total de bolas na urna:
Então, a probabilidade de tirar uma bola branca (não-verde) é
.
Passo 3
Como estamos fazendo 5 retiradas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso (tirar uma bola verde), isso se encaixa no modelo da distribuição binomial. A distribuição binomial é usada para contar o número de sucessos em uma sequência de
experimentos independentes, cada um com probabilidade de sucesso
.
Passo 4
Assim, podemos definir a variável
como uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros
(número de retiradas) e
(probabilidade de tirar uma bola verde). A notação fica assim:
Passo 5
Agora, vamos pensar no gráfico dessa distribuição. O gráfico da distribuição binomial é um gráfico de barras, onde cada barra representa a probabilidade de cada possível valor de
. Como
pode variar de 0 a 5 (ninguém tirando nenhuma verde até tirar todas verdes), vamos calcular essas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial:
onde
vai de 0 a 5.
Resposta
A variável aleatória
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
, ou seja:
O gráfico dessa distribuição é um diagrama de barras mostrando as probabilidades de
assumir os valores de 0 a 5.
Exercícios relacionados
Suponha que em uma certa população, o tamanho do crânio é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal com média 185,6 mm e desvio padrão 12,7 mm. Qual é a probabilidade que em uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população a média amostral seja maior que 190 mm ?(Resposta: 0,1357)
Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo uma variável indicadora que assume o valor 1 se a bola retirada for verde, e 0 se for branca. Defina a distribuição de X , a função de distribuição acumulada de X (fda) e sua média e desvio-padrão.
Indivíduo |
|
|
---|---|---|
1 | 1 | 6 |
2 | 3 | 2 |
3 | 2 | 4 |
4 | 3 | 1 |
5 | 2 | 4 |
6 | 2 | 1 |
7 | 3 | 3 |
8 | 1 | 5 |
9 | 2 | 2 |
10 | 3 | 2 |
11 | 2 | 5 |
12 | 3 | 2 |
13 | 1 | 6 |
14 | 2 | 6 |
15 | 3 | 2 |
16 | 4 | 2 |
17 | 1 | 5 |
18 | 2 | 5 |
19 | 2 | 1 |
20 | 2 | 1 |
Indivíduo |
|
|
:—: | :—: | :—: |
21 | 2 | 4 |
22 | 3 | 2 |
23 | 4 | 1 |
24 | 1 | 5 |
25 | 2 | 4 |
26 | 3 | 2 |
27 | 4 | 1 |
28 | 1 | 5 |
29 | 4 | 4 |
30 | 3 | 3 |
31 | 2 | 2 |
32 | 1 | 1 |
33 | 4 | 1 |
34 | 2 | 6 |
35 | 4 | 2 |
36 | 3 | 1 |
37 | 1 | 4 |
38 | 3 | 2 |
39 | 2 | 3 |
40 | 2 | 5 |
(a) Usando a mediana classifique os indivíduos em dois níveis, alto e baixo, para cada uma das variáveis, e construa a distribuição de frequência conjunta das duas classificações.
Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. São retiradas 5 bolas com reposição dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo o número de bolas verdes entre as bolas retiradas. Dê o que se pede:
c) valor médio da v.a. (esperança da v.a.);
c) valor médio da v.a. (esperança da v.a.);