Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. São retiradas 5 bolas com reposição dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo o número de bolas verdes entre as bolas retiradas. Dê o que se pede:
a) defina a distribuição da v.a. X e seu gráfico (verifique se a distribuição segue algum modelo conhecido e, se sim, justifique);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma urna com 30 bolas brancas e 20 bolas verdes, totalizando 50 bolas. A gente vai retirar 5 bolas, sempre colocando de volta (com reposição). A variável aleatória representa o número de bolas verdes que saem nessas 5 retiradas. Nosso objetivo aqui é definir qual é a distribuição dessa variável e desenhar o gráfico dessa distribuição. Para isso, vamos precisar entender sobre distribuições de probabilidade, especialmente a distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, como as retiradas são com reposição, cada retirada é independente das anteriores. Isso significa que a probabilidade de tirar uma bola verde sempre será a mesma em cada retirada. A gente pode calcular essa probabilidade p = 2050 = 0,4 dividindo o número de bolas verdes pelo total de bolas na urna:
Então, a probabilidade de tirar uma bola branca (não-verde) é .

Passo 3

Como estamos fazendo 5 retiradas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso (tirar uma bola verde), isso se encaixa no modelo da distribuição binomial. A distribuição binomial é usada para contar o número de sucessos em uma sequência de experimentos independentes, cada um com probabilidade de sucesso .

Passo 4

Assim, podemos definir a variável X sim Binomial(n=5, p=0,4) como uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros (número de retiradas) e (probabilidade de tirar uma bola verde). A notação fica assim:

Passo 5

Agora, vamos pensar no gráfico dessa distribuição. O gráfico da distribuição binomial é um gráfico de barras, onde cada barra representa a probabilidade de cada possível valor de P(X = k) = binom5k (0,4)^k (0,6)^5-k . Como pode variar de 0 a 5 (ninguém tirando nenhuma verde até tirar todas verdes), vamos calcular essas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial:
onde vai de 0 a 5.

Resposta

A variável aleatória X sim Binomial(5,, 0,4) segue uma distribuição binomial com parâmetros e , ou seja:
O gráfico dessa distribuição é um diagrama de barras mostrando as probabilidades de assumir os valores de 0 a 5.

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