Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. São retiradas 5 bolas com reposição dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo o número de bolas verdes entre as bolas retiradas. Dê o que se pede:
a) defina a distribuição da v.a. X e seu gráfico (verifique se a distribuição segue algum modelo conhecido e, se sim, justifique);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma urna com 30 bolas brancas e 20 bolas verdes, totalizando 50 bolas. A gente vai retirar 5 bolas, sempre colocando de volta (com reposição). A variável aleatória representa o número de bolas verdes que saem nessas 5 retiradas. Nosso objetivo aqui é definir qual é a distribuição dessa variável e desenhar o gráfico dessa distribuição. Para isso, vamos precisar entender sobre distribuições de probabilidade, especialmente a distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, como as retiradas são com reposição, cada retirada é independente das anteriores. Isso significa que a probabilidade de tirar uma bola verde sempre será a mesma em cada retirada. A gente pode calcular essa probabilidade dividindo o número de bolas verdes pelo total de bolas na urna:
Então, a probabilidade de tirar uma bola branca (não-verde) é .

Passo 3

Como estamos fazendo 5 retiradas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso (tirar uma bola verde), isso se encaixa no modelo da distribuição binomial. A distribuição binomial é usada para contar o número de sucessos em uma sequência de experimentos independentes, cada um com probabilidade de sucesso .

Passo 4

Assim, podemos definir a variável como uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros (número de retiradas) e (probabilidade de tirar uma bola verde). A notação fica assim:

Passo 5

Agora, vamos pensar no gráfico dessa distribuição. O gráfico da distribuição binomial é um gráfico de barras, onde cada barra representa a probabilidade de cada possível valor de . Como pode variar de 0 a 5 (ninguém tirando nenhuma verde até tirar todas verdes), vamos calcular essas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial:
onde vai de 0 a 5.

Resposta

A variável aleatória segue uma distribuição binomial com parâmetros e , ou seja:
O gráfico dessa distribuição é um diagrama de barras mostrando as probabilidades de assumir os valores de 0 a 5.

Exercícios relacionados

Suponha que em uma certa população, o tamanho do crânio é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal com média 185,6 mm e desvio padrão 12,7 mm. Qual é a probabilidade que em uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população a média amostral seja maior que 190 mm ?(Resposta: 0,1357)
Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo uma variável indicadora que assume o valor 1 se a bola retirada for verde, e 0 se for branca. Defina a distribuição de X , a função de distribuição acumulada de X (fda) e sua média e desvio-padrão.
Indivíduo
1 1 6
2 3 2
3 2 4
4 3 1
5 2 4
6 2 1
7 3 3
8 1 5
9 2 2
10 3 2
11 2 5
12 3 2
13 1 6
14 2 6
15 3 2
16 4 2
17 1 5
18 2 5
19 2 1
20 2 1
Indivíduo
:—: :—: :—:
21 2 4
22 3 2
23 4 1
24 1 5
25 2 4
26 3 2
27 4 1
28 1 5
29 4 4
30 3 3
31 2 2
32 1 1
33 4 1
34 2 6
35 4 2
36 3 1
37 1 4
38 3 2
39 2 3
40 2 5
(a) Usando a mediana classifique os indivíduos em dois níveis, alto e baixo, para cada uma das variáveis, e construa a distribuição de frequência conjunta das duas classificações.
Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. São retiradas 5 bolas com reposição dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo o número de bolas verdes entre as bolas retiradas. Dê o que se pede:
c) valor médio da v.a. (esperança da v.a.);