Uma urna contém 30 bolas brancas e 20 bolas verdes. São retiradas 5 bolas com reposição dessa urna. Considere a variável aleatória X como sendo o número de bolas verdes entre as bolas retiradas. Dê o que se pede:
a) defina a distribuição da v.a. X e seu gráfico (verifique se a distribuição segue algum modelo conhecido e, se sim, justifique);
a) defina a distribuição da v.a. X e seu gráfico (verifique se a distribuição segue algum modelo conhecido e, se sim, justifique);
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma urna com 30 bolas brancas e 20 bolas verdes, totalizando 50 bolas. A gente vai retirar 5 bolas, sempre colocando de volta (com reposição). A variável aleatória
representa o número de bolas verdes que saem nessas 5 retiradas. Nosso objetivo aqui é definir qual é a distribuição dessa variável
e desenhar o gráfico dessa distribuição. Para isso, vamos precisar entender sobre distribuições de probabilidade, especialmente a distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, como as retiradas são com reposição, cada retirada é independente das anteriores. Isso significa que a probabilidade de tirar uma bola verde sempre será a mesma em cada retirada. A gente pode calcular essa probabilidade
dividindo o número de bolas verdes pelo total de bolas na urna:
Então, a probabilidade de tirar uma bola branca (não-verde) é
.
Passo 3
Como estamos fazendo 5 retiradas independentes, cada uma com a mesma probabilidade de sucesso (tirar uma bola verde), isso se encaixa no modelo da distribuição binomial. A distribuição binomial é usada para contar o número de sucessos em uma sequência de
experimentos independentes, cada um com probabilidade de sucesso
.
Passo 4
Assim, podemos definir a variável
como uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros
(número de retiradas) e
(probabilidade de tirar uma bola verde). A notação fica assim:
Passo 5
Agora, vamos pensar no gráfico dessa distribuição. O gráfico da distribuição binomial é um gráfico de barras, onde cada barra representa a probabilidade de cada possível valor de
. Como
pode variar de 0 a 5 (ninguém tirando nenhuma verde até tirar todas verdes), vamos calcular essas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial:
onde
vai de 0 a 5.
Resposta
A variável aleatória
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
, ou seja:
O gráfico dessa distribuição é um diagrama de barras mostrando as probabilidades de
assumir os valores de 0 a 5.