Considerando os estudos realizados até o momento e o texto introdutório acima, um balão de ar quente (com forma aproximada de uma esfera de 15 m de diâmetro) deve levantar um cesto com carga de 2870 N. Até que temperatura o ar deve ser aquecido de modo a possibilitar a decolagem em um ambiente a 15 ºC? Dado: massa específica do ar nas condições mencionadas 1,2180 kg/m³. 632,54 K 158,67 K 273,15 K 333,31 K 112,98 K
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um balão de ar quente com diâmetro de 15 metros que precisa levantar um cesto com uma carga de 2870 N. A temperatura ambiente é de 15 ºC e a densidade do ar nessas condições é de 1,2180 kg/m³. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados à força de empuxo e à densidade do ar. Precisamos calcular a temperatura que o ar dentro do balão deve alcançar para que ele consiga gerar a força necessária para levantar o cesto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do balão. Como o balão é aproximadamente uma esfera, usamos a fórmula do volume da esfera:
Onde $ r $ é o raio. Como o diâmetro é 15 m, o raio $ r $ é 7,5 m.
Passo 3
Agora, vamos determinar a massa de ar que precisa ser aquecido para gerar o empuxo necessário. A força de empuxo ($ F_e $) é dada por:
Onde:
- $ \Delta \rho $ é a diferença de densidade entre o ar quente e o ar frio,
- $ V $ é o volume do balão,
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).
Sabemos que $ F_e $ precisa ser igual à carga que o balão deve levantar, ou seja, 2870 N.
Passo 4
Rearranjando a fórmula para encontrar $ \Delta \rho $:
Substituindo os valores:
Passo 5
Sabemos que a densidade do ar frio ($ \rho_{ar}
\rho_{ar\ quente} $) será:
Passo 6
Agora, vamos relacionar a densidade do ar com a temperatura usando a Lei dos Gases Ideais. A densidade ($ \rho
T $):
Então:
Rearranjando para encontrar $ T_{quente} $:
Passo 7
Substituindo os valores:
Primeiro, convertemos a temperatura ambiente para Kelvin:
Então:
Resposta
O ar deve ser aquecido até aproximadamente 333,31 K para possibilitar a decolagem do balão.