Suponha que clientes cheguem a uma cafeteria com uma taxa de 10 clientes por hora, seguindo um processo de Poisson.
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(a) Qual é a probabilidade de que mais de 15 minutos passem entre a chegada de dois clientes consecutivos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que clientes chegam numa cafeteria a uma taxa de 10 por hora, seguindo um processo de Poisson. A pergunta é: qual a probabilidade de que mais de 15 minutos passem entre a chegada de dois clientes seguidos? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre processos de Poisson e a distribuição exponencial, que nos ajuda a calcular tempos entre eventos em processos de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um processo de Poisson, o tempo entre chegadas de eventos (neste caso, clientes) segue uma distribuição exponencial. A fórmula dessa distribuição é:
P(T > t) = e^-lambda t
Onde:
  • é a probabilidade de que o tempo entre dois eventos seja maior que .
  • é a taxa de chegada (número de eventos por unidade de tempo).
  • é o tempo que estamos analisando.

Passo 3

No nosso problema, a taxa lambda = 10 clientes60 minutos = 16 clientes por minuto é de 10 clientes por hora. Mas como queremos trabalhar com minutos, vamos converter essa taxa para clientes por minuto. Como há 60 minutos em uma hora:

Passo 4

Agora, queremos saber a probabilidade de mais de 15 minutos passarem entre chegadas. Então, P(T > 15) = e^-(16) times 15 minutos. Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 5

Fazendo as contas dentro do expoente:
16 times 15 = 2.5
Então:
P(T > 15) = e^-2.5

Passo 6

Calculando e^-2.5 approx 0.0821 :

Resposta

A probabilidade de que mais de 15 minutos passem entre a chegada de dois clientes consecutivos é aproximadamente 8,21%.

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