Suponha que uma companhia administre três fundos mútuos. Denote por A i o evento associado a um acréscimo de valor do i-ésimo fundo mútuo em um determinado dia (i=1,2,3). Sabe-se que P(A1) = 0,55, P(A2) = 0,60, P(A3) = 0,45, P(A1 ∪ A2) = 0,82, P(A1 ∪ A3) = 0,7525, P(A2 ∪ A3) = 0,78, P(A2 ∩ A3|A1) = 0,20. Assinale a alternativa correta:
A probabilidade dos fundos 1 e 2 não aumentarem de valor em um determinado dia é 0,18 Os eventos A1, A2 e A3 são independentes
A probabilidade dos fundos 1 e 2 aumentarem de valor, dado que o fundo 3 aumentou de valor, é 0,33
A probabilidade dos fundos 1 e 2 aumentarem de valor é 0,35 Os eventos A1 e A2 não são independentes

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício de probabilidade passo a passo. O enunciado fala sobre uma companhia que administra três fundos mútuos e nos dá várias probabilidades relacionadas aos aumentos desses fundos em um dia específico. Vamos precisar utilizar conceitos de probabilidade como união, interseção e independência de eventos para descobrir qual das alternativas está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os eventos:
  • $ A_1 $: aumento do fundo 1
  • $ A_2 $: aumento do fundo 2
  • $ A_3 $: aumento do fundo 3
As probabilidades fornecidas são:
  • $ P(A_1) = 0,55 $
  • $ P(A_2) = 0,60 $
  • $ P(A_3) = 0,45 $
  • $ P(A_1 \cup A_2) = 0,82 $
  • $ P(A_1 \cup A_3) = 0,7525 $
  • $ P(A_2 \cup A_3) = 0,78 $
  • $ P(A_2 \cap A_3|A_1) = 0,20 $

Passo 3

Vamos relembrar que a probabilidade da união de dois eventos é dada por:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Isso vai nos ajudar a encontrar as interseções entre os eventos.

Passo 4

Vamos calcular $ P(A_1 \cap A_2) $:
P(A1 cap A2)
Substituindo os valores:
P(A1 cup A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 cap A2)
0,82 = 0,55 + 0,60 - P(A1 cap A2)
0,82 = 1,15 - P(A1 cap A2)

Passo 5

Agora, vamos verificar se os eventos $ A_1 $ e $ A_2 $ são independentes. Dois eventos são independentes se:
A1
Vamos calcular:
A2
E vimos que $ P(A_1 \cap A_2) = 0,33 $. Parece que são independentes, certo? Mas vamos verificar mais a fundo.

Passo 6

Para confirmar a independência, precisamos garantir que todas as combinações de eventos sejam independentes. No enunciado, também temos informações sobre $ P(A_2 \cap A_3|A_1) = 0,20 $. Se os eventos fossem realmente independentes, essa probabilidade condicional deveria ser igual a $ P(A_2 \cap A_3) $.
Vamos calcular $ P(A_2 \cap A_3) $ usando a probabilidade da união:
P(A2 cap A3|A1) = 0,20
P(A2 cap A3)
P(A2 cap A3)
P(A2 cup A3) = P(A2) + P(A3) - P(A2 cap A3)
Agora, $ P(A_2 \cap A_3|A_1) = 0,20 $ é diferente de $ P(A_2 \cap A_3) = 0,27 $, o que indica que os eventos não são independentes.

Passo 7

Vamos analisar as alternativas:
A) A probabilidade dos fundos 1 e 2 não aumentarem é $ P(\overline{A_1} \cap \overline{A_2}) = 1 - P(A_1 \cup A_2) = 1 - 0,82 = 0,18 $ ✔️
B) Diz que os eventos $ A_1 $, $ A_2 $ e $ A_3 $ são independentes ❌ (como vimos, $ A_2 \cap A_3|A_1 \neq P(A_2 \cap A_3) $)
C) Probabilidade dos fundos 1 e 2 aumentarem, dado que o fundo 3 aumentou:
P(A1 cap A2) = 1 - P(A1 cup A2) = 1 - 0,82 = 0,18
Mas não temos $ P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) $, então não podemos confirmar.
D) A probabilidade dos fundos 1 e 2 aumentarem é $ 0,33 $ ✔️
E) Os eventos $ A_1 $ e $ A_2 $ não são independentes ❌ (contrário ao que calculamos)

Passo 8

Analisando as alternativas, a única que está consistentemente correta é a alternativa A: “A probabilidade dos fundos 1 e 2 não aumentarem de valor em um determinado dia é 0,18”.

Resposta

A alternativa correta é: A probabilidade dos fundos 1 e 2 não aumentarem de valor em um determinado dia é 0,18.

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