(a) Suponha que um dado elemento radioativo se decomponha em um segundo elemento radioativo , e que por sua vez se decomponha em um terceiro elemento . Se a quantidade inicial de A presente é , se as quantidades de e presentes em um tempo posterior t são e , respectivamente, e se e são as constantes de taxa dessas duas reações, encontre y como função do tempo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma cadeia de decaimento radioativo onde o elemento A se transforma no elemento B, e o B se transforma no elemento C. A gente sabe que no começo temos uma quantidade inicial de A, que é , e queremos descobrir quanto de B, que chamaremos de , teremos após um tempo . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais que descrevem o decaimento radioativo.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas taxas de decaimento. O elemento A se decompõe em B com uma constante de taxa , e o B se decompõe em C com uma constante de taxa . Essas constantes nos dizem quão rápido cada processo acontece.
Passo 3
Agora, vamos modelar matematicamente esses processos. A taxa de decaimento de A é proporcional à quantidade de A presente, então temos:
Da mesma forma, a taxa de formação de B depende do decaimento de A e da sua própria taxa de decaimento:
Passo 4
Primeiro, resolvemos a equação para . A equação diferencial é:
Isso é uma equação diferencial linear que tem a solução:
Passo 5
Agora que temos , vamos substituir na equação para :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados da equação por :
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para :
Como inicialmente não temos B, ou seja, , substituímos :