(a) Suponha que um dado elemento radioativo A se decomponha em um segundo elemento radioativo B, e que B por sua vez se decomponha em um terceiro elemento C. Se a quantidade inicial de A presente é x_0, se as quantidades de A e B presentes em um tempo posterior t são x e y, respectivamente, e se k1 e k2 são as constantes de taxa dessas duas reações, encontre y como função do tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma cadeia de decaimento radioativo onde o elemento A se transforma no elemento B, e o B se transforma no elemento C. A gente sabe que no começo temos uma quantidade inicial de A, que é , e queremos descobrir quanto de B, que chamaremos de , teremos após um tempo . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre equações diferenciais que descrevem o decaimento radioativo.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas taxas de decaimento. O elemento A se decompõe em B com uma constante de taxa , e o B se decompõe em C com uma constante de taxa . Essas constantes nos dizem quão rápido cada processo acontece.

Passo 3

Agora, vamos modelar matematicamente esses processos. A taxa de decaimento de A é proporcional à quantidade de A presente, então temos:
Da mesma forma, a taxa de formação de B depende do decaimento de A e da sua própria taxa de decaimento:

Passo 4

Primeiro, resolvemos a equação para . A equação diferencial é:
Isso é uma equação diferencial linear que tem a solução:

Passo 5

Agora que temos , vamos substituir na equação para :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados da equação por :
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para :
Como inicialmente não temos B, ou seja, , substituímos :
Daí, .

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A quantidade de B em função do tempo é:

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