Um tanque contém 10 galões de salmoura na qual 2 libras de sal estão dissolvidas. Salmoura contendo 1 libra de sal por galão é bombeada para dentro do tanque à taxa de 3 galões por minuto, e a mistura agitada é drenada à taxa de 4 galões por minuto. Encontre a quantidade de sal no tanque em qualquer instante de tempo .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um tanque com uma solução salina (salmoura) de 10 galões, contendo inicialmente 2 libras de sal. Salmoura com 1 libra de sal por galão está sendo adicionada ao tanque a uma taxa de 3 galões por minuto, enquanto a mistura está saindo do tanque a uma taxa de 4 galões por minuto. Precisamos descobrir quanto sal, representado por , está no tanque em qualquer instante de tempo .
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais aplicadas a problemas de mistura. Vamos precisar entender como a quantidade de sal no tanque muda ao longo do tempo considerando as taxas de entrada e saída.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a quantidade de sal que está entrando e saindo do tanque por minuto.
Entrada de sal: A taxa de entrada é de 3 galões por minuto, e cada galão contém 1 libra de sal. Então, a taxa de entrada de sal é:
Saída de sal: A mistura está saindo a 4 galões por minuto. A concentração de sal no tanque em qualquer instante é , onde é o volume no tanque no tempo .
Passo 3
Vamos descobrir como o volume no tanque muda com o tempo. A taxa de entrada é 3 galões por minuto, e a taxa de saída é 4 galões por minuto. Portanto, a taxa de variação do volume é:
Isso significa que o volume está diminuindo a uma taxa de 1 galão por minuto. Como o volume inicial é 10 galões, temos:
Passo 4
Agora, vamos expressar a taxa de saída de sal em termos de e :
Passo 5
A mudança na quantidade de sal no tanque ao longo do tempo é dada pela diferença entre a taxa de entrada e a taxa de saída:
Essa é uma equação diferencial linear que vamos resolver para encontrar .
Passo 6
Vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a resolução:
Aqui, temos que identificar a equação na forma padrão:
onde e .
Passo 7
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular a integral:
Então, o fator integrante é:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Passo 9
Integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Calculando a integral:
Então:
Passo 10
Resolvemos para :
Simplificando:
Passo 11
Usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que no tempo , a quantidade de sal é 2 libras:
Passo 12
Substituímos o valor de na expressão de :
Resposta
A quantidade de sal no tanque em qualquer instante de tempo é: