(d)
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
Esse problema pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente às equações lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é
e
, podemos supor uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes a serem determinados.
Passo 4
Vamos derivar
para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituindo
e
na equação completa:
Simplificando:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos
e
devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos:
Resolvendo para
:
E para
:
Passo 7
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Divergente (Gauss) para calcular
onde:
(b) onde
é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro
e pelo planos
e
.
(b)
Use o Teorema de Green para calcular:
© onde
é a fronteira da região englobada pelas parábolas
.
©
(f)
Suponha que em um determinado tanque com água, no tempo
, encontra-se uma quantidade
de certa substância dissolvida em 100 galões. Suponha, ainda, que estão entrando no tanque
galões por minuto com
dessa substância por galão e que a taxa de escoamento é a mesma da entrada. Encontre a lei diferencial que governa esse acontecimento, sob a hipótese de que a substância não irá se degenerar por algum motivo dentro do tanque, sendo que a única forma de entrada e saída pelo fluxo que estamos considerando, e denotando por
a quantidade dessa substância no tanque, a taxa de variação com relação ao tempo.