(d) u'' + omega_0^2 * u = cos(omega * t), omega^2 != omega_0^2

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
Esse problema pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente às equações lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é e , podemos supor uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem determinados.

Passo 4

Vamos derivar para substituir na equação diferencial:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Substituindo e na equação completa:
Simplificando:

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos e devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos:
Resolvendo para :
E para :

Passo 7

Então, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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