Suponha que a duração de vida de um tipo específico de lâmpada é uma variável aleatória contínua T com uma distribuição exponencial de parâmetro lambda=0.5. Qual é a probabilidade de que uma lâmpada dure mais de 3 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre a duração de vida de uma lâmpada, que é representada por uma variável aleatória contínua . A distribuição dessa variável é exponencial com parâmetro . Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de uma lâmpada durar mais de 3 horas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística sobre distribuições exponenciais e entender como calcular probabilidades com elas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. No nosso caso, o “evento” é a lâmpada que queima. A função de densidade de probabilidade da distribuição exponencial é dada por:
f(t) = lambda e^-lambda t
Onde:
  • é o parâmetro da distribuição (neste caso, 0,5)
  • é o tempo

Passo 3

Mas o que a gente quer mesmo é a probabilidade de que a lâmpada dure mais de 3 horas, ou seja, P(T > t) = e^-lambda t . Para isso, usamos a função de sobrevivência da distribuição exponencial, que é:
Essa fórmula nos dá a probabilidade de que o evento (a lâmpada queimar) ainda não tenha acontecido até o tempo .

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que P(T > 3) = e^-0,5 times 3 = e^-1,5 e horas. Então:

Passo 5

Vamos calcular e^-1,5 approx 0,2231 . Usando uma calculadora, encontramos que:

Passo 6

Portanto, a probabilidade de que uma lâmpada dure mais de 3 horas é de aproximadamente 22,31%.

Resposta

A probabilidade de que uma lâmpada dure mais de 3 horas é aproximadamente 22,31%.

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