O tempo de vida, em anos, de um determinado tipo de célula de combustível é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)= 81(x+3)^4 & se x>0 0 & se x <= 0
a. Qual é a probabilidade de uma célula de combustível durar mais de 3 anos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre o tempo de vida de células de combustível, que é uma variável aleatória contínua. A função de densidade de probabilidade dada é:
f(x)= 81(x+3)^4 & se x>0 0 & se x <= 0
O que precisamos encontrar aqui é a probabilidade de uma célula de combustível durar mais de 3 anos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a probabilidade de uma variável aleatória contínua ser maior que um certo valor, a gente precisa calcular a integral da função de densidade a partir desse valor até o infinito. No nosso caso, queremos .

Passo 3

Então, a fórmula que vamos usar é:
P(X > 3) = integral3^infty f(x) , dx
Substituindo a função P(X > 3) = integral3^infty 81(x+3)^4 , dx :

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. Primeiro, encontramos a antiderivada de integral 81(x+3)^4 , dx = 81 integral (x+3)^-4 , dx :
(x+3)^-3-3 = -13(x+3)^3
A antiderivada de 81 times ( -13(x+3)^3 ) = -813(x+3)^3 = -27(x+3)^3 é:
Multiplicando por 81:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a antiderivada nos limites de 3 até o infinito:
P(X > 3) = [ -27(x+3)^3 ]3^infty
Primeiro, calculamos quando limx to infty -27(x+3)^3 = 0 tende ao infinito:
-27(3+3)^3 = -27216 = -18
Depois, substituímos 0 - ( -18 ) = 18 :
Então, a probabilidade é:

Resposta

A probabilidade de uma célula de combustível durar mais de 3 anos é 0,125 (ou ).

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