Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é
. Estamos usando o Método dos Coeficientes Indeterminados, que é uma técnica para encontrar a solução particular de equações diferenciais lineares com termos do lado direito que são funções específicas, como senos, cossenos ou polinômios. Para isso, vamos precisar identificar as soluções da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular que atenda ao lado não homogêneo da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, temos:
Então, as soluções gerais são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a equação completa:
Usaremos o Método dos Coeficientes Indeterminados, assumindo que a solução particular será uma combinação linear de senos e cossenos das funções do lado direito. Porém, precisamos verificar se alguma dessas funções já está presente na solução homogênea
.
Observamos que
e
já estão na solução homogênea. Portanto, para evitar soluções que se sobreponham, multiplicamos por
as funções que estão na solução homogênea.
Assim, propomos a forma da solução particular:
onde
e
são coeficientes a serem determinados.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Isso resulta em:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Substituindo os valores encontrados de
e
na expressão da solução particular:
Simplificando:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
em caso afirmativo, determine
:
d)
d)
Usando o Método dos Coeficientes Indeterminados ache a solução geral das EDOs seguintes:
Suponha que o eixo
representa o solo e uma montanha é modelada pela equação
, onde
. Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta
, de modo que, no instante
0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por (
. Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
(a) Determine, usando a definição de derivada, a equação da reta tangente ao gráfico de em um ponto genérico
.
(a) Determine, usando a definição de derivada, a equação da reta tangente ao gráfico de
Suponha que o eixo
representa o solo e uma montanha é modelada pela equação
, onde
. Um avião sobrevoa a montanha horizontalmente da esquerda para direita sobre a reta
, de modo que, no instante
0 minutos, a posição do avião no plano cartesiano abaixo é dada por (
. Considerando que a luz se propaga em linha reta, resolva os ítens abaixo.
© Determine o instante em que o observador do item b) perde a visão do avião devido à montanha.
© Determine o instante