Suponha que uma empresa esteja monitorando a média de demanda diária por um produto ao longo de 50 dias, e que a demanda diária siga uma distribuição com média de 100 unidades e desvio padrão de 20 unidades.
(b) Usando a desigualdade de Chebyshev, determine uma cota superior para a probabilidade de que a média da demanda diária ao longo dos 50 dias difira da média verdadeira em mais de 5 unidades.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma empresa que está monitorando a média de demanda diária de um produto ao longo de 50 dias. Sabemos que, em média, cada dia tem uma demanda de 100 unidades, com um desvio padrão de 20 unidades. O que precisamos fazer aqui é usar a desigualdade de Chebyshev para encontrar um limite superior para a probabilidade de que a média da demanda nos 50 dias a mais ou a menos de 5 unidades da média verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a desigualdade de Chebyshev. Essa desigualdade nos ajuda a estimar a probabilidade de que uma variável aleatória se desvie da sua média por mais de um certo número de desvios padrão. Matematicamente, ela é expressa assim:
P(|X - mu| >= ksigma) <= 1k^2
Onde:
  • X é a variável aleatória,
  • mu é a média,
  • sigma é o desvio padrão,
  • k é o número de desvios padrão.

Passo 3

No nosso caso, queremos saber a probabilidade de que a média da demanda diária ( X) nos 50 dias difira da média verdadeira ( mu = 100) em mais de 5 unidades. Ou seja, estamos procurando:
P(|X - mu| >= 5)
Para aplicar a desigualdade de Chebyshev, precisamos primeiro determinar o desvio padrão da média amostral X.

Passo 4

O desvio padrão da média amostral ( sigmaX) é calculado pela fórmula:
sigmaX = sigmaraizn
Onde:
  • sigma = 20 (desvio padrão da demanda diária),
  • n = 50 (número de dias).
Calculando:
sigmaX = 20raiz50 approx 207.071 approx 2.828

Passo 5

Agora, queremos saber qual é o valor de k tal que a média difere da verdadeira em 5 unidades:
ksigmaX = 5
Resolvendo para k:
k = 5sigmaX approx 52.828 approx 1.767

Passo 6

Aplicando a desigualdade de Chebyshev com o valor de k encontrado:
P(|X - mu| >= 5) <= 1k^2 approx 1(1.767)^2 approx 13.123 approx 0.320

Resposta

A cota superior para a probabilidade de que a média da demanda diária nos 50 dias difira da média verdadeira em mais de 5 unidades é aproximadamente 32%.

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