Suponha uma esfera condutora (raio a=1 m ) localizada no vácuo (permissividade varepsilon0 ) uniformemente carregada (carga total Q ). Considere que, nessas condições, o potencial escalar elétrico da esfera com relação ao infinito é 1000 V. Sejam os itens a seguir.
Calcule a energia armazenada no campo elétrico nas duas condições (sem a cobertura isolante e com a cobertura isolante). Discuta fisicamente os resultados.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma esfera condutora de raio que está no vácuo e carregada uniformemente com uma carga total . O potencial elétrico dessa esfera em relação ao infinito é de 1000 V. Nosso objetivo aqui é calcular a energia armazenada no campo elétrico em duas situações diferentes: sem a cobertura isolante e com a cobertura isolante. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como o campo elétrico de uma esfera condutora e a energia armazenada nesse campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V = 14pivarepsilon0 cdot Qa de uma esfera condutora carregada é dado por:
Q = 4pivarepsilon0 V a
Aqui, é a permissividade do vácuo. Sabemos que e , então podemos rearranjar essa fórmula para encontrar a carga :

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia armazenada no campo elétrico. A energia U = 12 Q V armazenada no campo elétrico no caso de uma esfera condutora no vácuo é dada por:
Essa fórmula vem do fato de que a energia armazenada em um campo elétrico é proporcional ao produto da carga e do potencial.

Passo 4

Substituindo os valores que já temos:
U = 12 cdot Q cdot V = 12 cdot (4pivarepsilon0 V a) cdot V = 2pivarepsilon0 V^2 a
Agora, podemos calcular essa energia usando U = 2pi cdot 8,85 times 10^-12 cdot (1000)^2 cdot 1 approx 5,57 times 10^-8 , J , e :

Passo 5

Agora, vamos considerar a segunda condição: com a cobertura isolante. Aqui, presumimos que a cobertura isolante é um material dielétrico com permissividade U = 12 cdot Q^24pivarepsilon a . A presença do dielétrico altera a energia armazenada no campo elétrico, pois a energia agora é:
U = 12 cdot (4pivarepsilon0 V a)^24pivarepsilon a = 4pivarepsilon0^2 V^2 avarepsilon
Substituindo U = 4pivarepsilon0^2 V^2 ak varepsilon0 = 4pivarepsilon0 V^2 ak da etapa anterior:
Se considerarmos que o dielétrico tem uma permissividade , onde é a constante dielétrica, então:
Comparando com a energia sem o dielétrico, vemos que a presença do dielétrico diminui a energia armazenada no campo elétrico devido ao fator .

Resposta

A energia armazenada no campo elétrico da esfera condutora é aproximadamente sem a cobertura isolante. Com a cobertura isolante, essa energia diminui proporcionalmente à constante dielétrica do material isolante utilizado. Isso acontece porque o dielétrico reduz a intensidade do campo elétrico para a mesma carga, resultando em menor energia armazenada.

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