Seja uma placa centrada no plano x y (-ell2 -ell2 ), uniformemente carregada com uma densidade superficial de cargas rhos[C / m^2] e localizada no vácuo (permissividade varepsilon0 ). Considere os itens a seguir.
Obtenha, via aplicação da lei de Coulomb, uma expressão para a componente x do campo elétrico produzido pela placa em um ponto (x, 0, z).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa quadrada no plano com lados de comprimento , uniformemente carregada com uma densidade superficial de carga . Queremos encontrar a componente do campo elétrico ( ) gerado por essa placa em um ponto específico no espaço. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular o campo elétrico devido a cargas distribuídas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos dá o campo elétrico dE = 14pivarepsilon0 dq , r|r|^3 produzido por um elemento de carga :
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é o vetor que vai do elemento de carga até o ponto onde queremos calcular o campo,
  • é a distância entre o elemento de carga e o ponto.

Passo 3

Vamos configurar as coordenadas. A placa está centrada no plano r = (x - x')i + (0 - y')j + (z - 0)k = (x - x')i - y'j + zk , então qualquer ponto na placa tem coordenadas |r| = raiz(x - x')^2 + y'^2 + z^2 com e . O ponto onde queremos calcular o campo é . O vetor será então:
E a distância é:

Passo 4

A densidade superficial de carga dq = rhos , dx' , dy' nos permite expressar dE = 14pivarepsilon0 rhos , dx' , dy' , r|r|^3 como:
dEx = 14pivarepsilon0 rhos (x - x')|r|^3 , dx' , dy'
Substituindo na expressão de :
Estamos interessados apenas na componente do campo elétrico ( ):

Passo 5

Para encontrar o campo elétrico total Ex = rhos4pivarepsilon0 integral-ell2^ell2 integral-ell2^ell2 (x - x')[(x - x')^2 + y'^2 + z^2]^32 , dy' , dx' , precisamos integrar sobre toda a área da placa:
Essa integral pode ser resolvida por simetria e técnicas de integração, resultando na express��o para .

Resposta

A componente Ex = rhos4pivarepsilon0 integral-ell2^ell2 integral-ell2^ell2 (x - x')[(x - x')^2 + y'^2 + z^2]^32 , dy' , dx' do campo elétrico produzido pela placa no ponto é:

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