Suponha que estamos atirando dardos em um alvo circular com raio de 10 cm , e seja X a distância, em cm, do ponto atingido pelo dardo ao centro do alvo. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de X é
f(x)= k x, & 0 <= x <= 10 0, & c c
a) Calcule o valor da constante k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um alvo circular de raio 10 cm e está jogando dardos nele. A variável f(x) = kx, & 0 <= x <= 10 0, & caso contrário representa a distância, em centímetros, do ponto onde o dardo acertou até o centro do alvo. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de é dada por:
á
A gente precisa encontrar o valor da constante . Para isso, vamos usar os conceitos de funções de densidade de probabilidade, que precisam satisfazer que a integral de em todo o seu domínio seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função densidade de probabilidade deve satisfazer:
integral-infty^+infty f(x) , dx = 1
No nosso caso, é diferente de zero apenas entre 0 e 10 cm. Então, a integral que precisamos calcular é de 0 a 10.

Passo 3

Substituindo integral0^10 kx , dx = 1 na integral, temos:
Agora, vamos calcular essa integral para encontrar .

Passo 4

A integral de integral kx , dx = kx^22 em relação a é:
Agora, vamos avaliar essa expressão entre 0 e 10 cm.

Passo 5

Aplicando os limites da integral:
kx^22 |0^10 = k cdot 10^22 - k cdot 0^22 = 100k2 = 50k
Então, temos:
50k = 1

Passo 6

Agora, é só resolver para k = 150 = 0,02 :

Resposta

O valor da constante é ou .

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