O tempo adequado de troca, X, de um amortecedor de certa marca em automóveis, sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável contínua, medida em anos. Suponha que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) desta variável seja dada pela seguinte expressão
f(x)= x / 4, & 0 <= x <= 2 1 / 8, & 2
a) Qual a probabilidade de um automóvel, sujeito às condições descritas acima, necessitar de troca entre 1 e 3 anos de uso?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função de densidade de probabilidade que descreve o tempo adequado para trocar um amortecedor de carro, medido em anos. Queremos descobrir a probabilidade de um carro precisar trocar o amortecedor entre 1 e 3 anos de uso. Vai rolar uma integração dessa função nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de densidade de probabilidade nos dá a probabilidade de que a variável aleatória esteja em um certo intervalo. Para encontrar a probabilidade de estar entre 1 e 3 anos, vamos integrar de 1 a 3.

Passo 3

Olha só a função f(x)= x4, & 0 <= x <= 2 18, & 2 < x <= 6 0, & caso contrário :
á
Note que de 1 a 2 anos, , e de 2 a 3 anos, . Então, vamos dividir a integral em duas partes.

Passo 4

Primeira parte: integrar integral1^2 x4 , dx = 14 [ x^22 ]1^2 = 14 ( 42 - 12 ) = 14 ( 2 - 0,5 ) = 14 times 1,5 = 0,375 de 1 a 2.

Passo 5

Segunda parte: integrar integral2^3 18 , dx = 18 (3 - 2) = 18 times 1 = 0,125 de 2 a 3.

Passo 6

Agora, somamos as duas partes para obter a probabilidade total:
0,375 + 0,125 = 0,5

Resposta

A probabilidade de um automóvel precisar trocar o amortecedor entre 1 e 3 anos de uso é de 50%.

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