Suponha que estrelas cadentes sejam observadas em um determinado local a uma taxa de 4 estrelas por hora, seguindo um processo de Poisson.
30a
(a) Qual é a probabilidade de que mais de 20 minutos passem entre a observação de duas estrelas cadentes consecutivas?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um local onde estrelas cadentes são observadas a uma taxa de 4 estrelas por hora, seguindo um processo de Poisson. O que precisamos descobrir aqui é a probabilidade de que mais de 20 minutos passem entre a observação de duas estrelas cadentes consecutivas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um processo de Poisson. Esse é um modelo matemático que descreve eventos que ocorrem de forma aleatória e independente ao longo do tempo. No nosso caso, as estrelas cadentes são os eventos que acontecem a uma certa taxa.

Passo 3

Como estamos lidando com o tempo entre eventos consecutivos, a variável que nos interessa segue uma distribuição exponencial. A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo que passa até que ocorra o próximo evento em um processo de Poisson.

Passo 4

A fórmula da distribuição exponencial é:
Aqui:
  • é a probabilidade de que o tempo entre dois eventos seja maior que .
  • é a taxa média de ocorrência dos eventos por unidade de tempo.
  • �� o intervalo de tempo que estamos analisando.

Passo 5

No nosso caso:
  • A taxa é de 4 estrelas por hora.
  • Queremos saber a probabilidade de que mais de 20 minutos (que é igual a de hora) passem entre duas estrelas cadentes.

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:

Passo 7

Calculando a expressão no expoente:
Então:

Passo 8

Agora, vamos calcular o valor de :

Resposta

A probabilidade de que mais de 20 minutos passem entre a observação de duas estrelas cadentes consecutivas é aproximadamente 26,36%.

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