Suponha que estrelas cadentes sejam observadas em um determinado local a uma taxa de 4 estrelas por hora, seguindo um processo de Poisson.
30a
(a) Qual é a probabilidade de que mais de 20 minutos passem entre a observação de duas estrelas cadentes consecutivas?
30a
(a) Qual é a probabilidade de que mais de 20 minutos passem entre a observação de duas estrelas cadentes consecutivas?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um local onde estrelas cadentes são observadas a uma taxa de 4 estrelas por hora, seguindo um processo de Poisson. O que precisamos descobrir aqui é a probabilidade de que mais de 20 minutos passem entre a observação de duas estrelas cadentes consecutivas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um processo de Poisson. Esse é um modelo matemático que descreve eventos que ocorrem de forma aleatória e independente ao longo do tempo. No nosso caso, as estrelas cadentes são os eventos que acontecem a uma certa taxa.
Passo 3
Como estamos lidando com o tempo entre eventos consecutivos, a variável que nos interessa segue uma distribuição exponencial. A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo que passa até que ocorra o próximo evento em um processo de Poisson.
Passo 4
A fórmula da distribuição exponencial é:
Aqui:
-
é a probabilidade de que o tempo entre dois eventos seja maior que . -
é a taxa média de ocorrência dos eventos por unidade de tempo. -
�� o intervalo de tempo que estamos analisando.
Passo 5
No nosso caso:
- A taxa
é de 4 estrelas por hora. - Queremos saber a probabilidade de que mais de 20 minutos (que é igual a
de hora) passem entre duas estrelas cadentes.
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 7
Calculando a expressão no expoente:
Então:
Passo 8
Agora, vamos calcular o valor de
:
Resposta
A probabilidade de que mais de 20 minutos passem entre a observação de duas estrelas cadentes consecutivas é aproximadamente 26,36%.
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