Verifique as seguintes fórmulas para dados tabulados.
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma fórmula para calcular a variância ( ) baseada em dados tabulados, ou seja, dados organizados em uma tabela com valores ( ) e suas frequências ( ). A fórmula que precisamos verificar é:
Aqui, representa o total de observações, que é a soma de todas as frequências ( ). Para resolver isso, precisamos entender os conceitos de média e variância para dados agrupados e aplicar esses conceitos na nossa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a variância mede o quanto os dados estão dispersos em relação à média. Para dados tabulados, a média ( ) é calculada como:
Isso nos dá o valor médio considerando as frequências de cada valor .

Passo 3

A próxima etapa é expressar a variância em termos da média. A fórmula geral da variância é:
Isso significa que calculamos a média dos quadrados das diferenças entre cada valor e a média , ponderada pelas frequências .

Passo 4

Vamos expandir a expressão :
Agora, substituímos isso na fórmula da variância:

Passo 5

Distribuímos a soma:
Sabemos que , pois . Além disso, .

Passo 6

Substituímos esses valores na equação:
Simplificando:

Passo 7

Lembrando que , temos . Substituindo na equação:
Simplificando:

Resposta

Assim, mostramos que a fórmula dada para a variância de dados tabulados é válida:

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