Verifique as seguintes fórmulas para dados tabulados.
sigma^2=1N[Sigma xi^2 cdot fi-(Sigma xi cdot fi)^2N].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma fórmula para calcular a variância ( sigma^2) baseada em dados tabulados, ou seja, dados organizados em uma tabela com valores ( xi) e suas frequências ( fi). A fórmula que precisamos verificar é:
sigma^2=1N[Sigma xi^2 cdot fi-(Sigma xi cdot fi)^2N]
Aqui, N representa o total de observações, que é a soma de todas as frequências ( N = Sigma fi). Para resolver isso, precisamos entender os conceitos de média e variância para dados agrupados e aplicar esses conceitos na nossa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a variância mede o quanto os dados estão dispersos em relação à média. Para dados tabulados, a média ( mu) é calculada como:
mu = Sigma xi cdot fiN
Isso nos dá o valor médio considerando as frequências de cada valor xi.

Passo 3

A próxima etapa é expressar a variância em termos da média. A fórmula geral da variância é:
sigma^2 = 1N Sigma (xi - mu)^2 cdot fi
Isso significa que calculamos a média dos quadrados das diferenças entre cada valor xi e a média mu, ponderada pelas frequências fi.

Passo 4

Vamos expandir a expressão (xi - mu)^2:
(xi - mu)^2 = xi^2 - 2ximu + mu^2
Agora, substituímos isso na fórmula da variância:
sigma^2 = 1N Sigma (xi^2 - 2ximu + mu^2) cdot fi

Passo 5

Distribuímos a soma:
sigma^2 = 1N ( Sigma xi^2 cdot fi - 2mu Sigma xi cdot fi + Sigma mu^2 cdot fi )
Sabemos que Sigma xi cdot fi = Nmu, pois mu = Sigma xi cdot fiN. Além disso, Sigma mu^2 cdot fi = mu^2 Sigma fi = mu^2 N.

Passo 6

Substituímos esses valores na equação:
sigma^2 = 1N ( Sigma xi^2 cdot fi - 2mu cdot Nmu + mu^2 N )
Simplificando:
sigma^2 = 1N ( Sigma xi^2 cdot fi - 2Nmu^2 + Nmu^2 )
sigma^2 = 1N ( Sigma xi^2 cdot fi - Nmu^2 )

Passo 7

Lembrando que mu = Sigma xi cdot fiN, temos mu^2 = ( Sigma xi cdot fiN )^2. Substituindo na equação:
sigma^2 = 1N Sigma xi^2 cdot fi - (Sigma xi cdot fi)^2N^2 cdot N
Simplificando:
sigma^2 = 1N Sigma xi^2 cdot fi - (Sigma xi cdot fi)^2N

Resposta

Assim, mostramos que a fórmula dada para a variância de dados tabulados é válida:
sigma^2=1N[Sigma xi^2 cdot fi-(Sigma xi cdot fi)^2N]

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