Verifique as seguintes fórmulas para dados tabulados.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma fórmula para calcular a variância (
) baseada em dados tabulados, ou seja, dados organizados em uma tabela com valores (
) e suas frequências (
). A fórmula que precisamos verificar é:
Aqui,
representa o total de observações, que é a soma de todas as frequências (
). Para resolver isso, precisamos entender os conceitos de média e variância para dados agrupados e aplicar esses conceitos na nossa fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a variância mede o quanto os dados estão dispersos em relação à média. Para dados tabulados, a média (
) é calculada como:
Isso nos dá o valor médio considerando as frequências de cada valor
.
Passo 3
A próxima etapa é expressar a variância em termos da média. A fórmula geral da variância é:
Isso significa que calculamos a média dos quadrados das diferenças entre cada valor
e a média
, ponderada pelas frequências
.
Passo 4
Vamos expandir a expressão
:
Agora, substituímos isso na fórmula da variância:
Passo 5
Distribuímos a soma:
Sabemos que
, pois
. Além disso,
.
Passo 6
Substituímos esses valores na equação:
Simplificando:
Passo 7
Lembrando que
, temos
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Resposta
Assim, mostramos que a fórmula dada para a variância de dados tabulados é válida:
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