Em cada um dos exercícios, determine a solução do problema de valor inicial dado: d y/d t - 2 t y = t, y(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para resolver uma equação diferencial que descreve como uma função muda em relação ao tempo . A equação dada é:
Vamos usar o método dos fatores integrantes, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Isso vai nos ajudar a encontrar a solução para .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações lineares:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante . Ele é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:
A equação agora está pronta para ser integrada.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Vamos calcular a integral do lado direito.

Passo 6

Para resolver , usamos uma substituição simples. Seja , então ou . A integral fica:

Passo 7

Voltando à nossa equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para resolver para :

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Em cada um dos exercícios, determine a solução do problema de valor inicial dado: d y/d t + y = 1/(1+t^2), y(1) = 2.
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