Em cada um dos exercícios, determine a solução do problema de valor inicial dado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para resolver uma equação diferencial que descreve como uma função
muda em relação ao tempo
. A equação dada é:
Vamos usar o método dos fatores integrantes, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Isso vai nos ajudar a encontrar a solução para
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão das equações lineares:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
. Ele é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
A equação agora está pronta para ser integrada.
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Vamos calcular a integral do lado direito.
Passo 6
Para resolver
, usamos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. A integral fica:
Passo 7
Voltando à nossa equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: