Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem uma função
definida no intervalo de
. Nosso objetivo é encontrar os pontos de máximo e mínimo dessa função dentro desse intervalo. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para identificar onde a função atinge esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto, ou seja, se está crescendo ou decrescendo. Então, vamos derivar termo por termo:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso, a derivada
existe para todo
, então vamos resolver
:
Isso nos dá duas soluções:
-
→ -
→ → ou
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Vamos agora avaliar a função
nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo (
e
) para encontrar os valores máximos e mínimos.
Vamos simplificar as avaliações nos pontos
e
:
Passo 5
Agora, com todos os valores calculados:
Podemos ver que o valor máximo da função no intervalo é aproximadamente
em
e o valor mínimo é aproximadamente
em
. Nos extremos do intervalo e em
, a função vale
.
Resposta
No intervalo de
, a função
atinge seu valor máximo aproximado de
em
e seu valor mínimo aproximado de
em
.
Exercícios relacionados
(a) Mostre que um polinômio de grau 3 tem, no máximo, três soluções reais.
(b) Mostre que um polinômio de grau tem, no máximo,
soluções reais.
(b) Mostre que um polinômio de grau
Suponha que
e
sejam contínuas em
e deriváveis em
. Suponha também que
e
para
. Prove que
. [Dica: Aplique o Teorema do Valor Médio para a função
.]