Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem uma função definida no intervalo de . Nosso objetivo é encontrar os pontos de máximo e mínimo dessa função dentro desse intervalo. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para identificar onde a função atinge esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em cada ponto, ou seja, se está crescendo ou decrescendo. Então, vamos derivar termo por termo:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso, a derivada existe para todo , então vamos resolver :
Isso nos dá duas soluções:
  1. ou
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Vamos agora avaliar a função nesses pontos críticos e também nos extremos do intervalo ( e ) para encontrar os valores máximos e mínimos.
Vamos simplificar as avaliações nos pontos e :

Passo 5

Agora, com todos os valores calculados:
Podemos ver que o valor máximo da função no intervalo é aproximadamente em e o valor mínimo é aproximadamente em . Nos extremos do intervalo e em , a função vale .

Resposta

No intervalo de , a função atinge seu valor máximo aproximado de em e seu valor mínimo aproximado de em .

Exercícios relacionados

(a) Mostre que um polinômio de grau 3 tem, no máximo, três soluções reais.
(b) Mostre que um polinômio de grau tem, no máximo, soluções reais.
Suponha que e sejam contínuas em e deriváveis em . Suponha também que e para . Prove que . [Dica: Aplique o Teorema do Valor Médio para a função .]