Seja
. Encontre
, sabendo que
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar a derivada de uma função composta no ponto
. A matéria envolvida aqui é o cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar as informações que a questão nos deu sobre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa
. Isso significa que a função
é igual à função
elevada ao cubo. Para encontrar a derivada de
, que é
, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia é usada quando temos uma função dentro de outra função, como aqui onde
está dentro do cubo.
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que, para derivar
, devemos derivar a “função externa”
em relação a
e depois multiplicar pela derivada da “função interna”
. Matemáticamente, isso fica:
Aqui,
é a derivada da função externa
em relação a
, e
é a derivada da função interna.
Passo 4
Agora, vamos substituir
na derivada que encontramos. A questão nos dá os valores
e
. Vamos substituir esses valores na expressão da derivada:
Passo 5
Vamos resolver essa expressão passo a passo. Primeiro, calculamos
:
Então, substituímos de volta:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
uma função contínua por partes em
. Prove que
não é de ordem exponencial se
qualquer que seja a constante
.
Calcule as derivadas
Calcule as derivadas das seguintes funções.
Suponha que
é de ordem exponencial e que
existe. Prove que