Beleza, vamos lá! Você me deu uma função para e me pediu para calcular algumas probabilidades relacionadas a essa função. Isso faz parte do estudo de distribuições de probabilidade contínuas, mais especificamente da distribuição exponencial. Para resolver esses exercícios, vamos precisar entender como calcular probabilidades usando a função densidade de probabilidade (PDF) e a função de distribuição acumulada (CDF).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição exponencial. A função é a PDF de uma distribuição exponencial com parâmetro . A PDF nos dá a densidade de probabilidade em cada ponto , e a CDF, que vamos chamar de , nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a .
A CDF para a distribuição exponencial é dada por:
Como , fica:
Passo 3
Agora vamos para a parte (a): .
A probabilidade de ser maior que 1 é o complemento da probabilidade de ser menor ou igual a 1. Ou seja:
Calculando :
Então:
Passo 4
Agora, na parte (b): .
Para encontrar essa probabilidade, calculamos a diferença entre a CDF em 2,5 e a CDF em 1:
Para variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de assumir exatamente um valor específico é sempre zero. Isso porque a área sob a curva em um único ponto é nula.
Então:
Passo 6
Parte (d): .
Em distribuições contínuas, é igual a , já que a probabilidade em um ponto específico é zero.
Então:
Passo 7
Agora, parte (e): Determine tal que .
Queremos encontrar onde a probabilidade de ser maior que é 0,1:
Para encontrar , tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando:
Passo 8
Por fim, parte (f): Determine tal que .
Assim como na parte (d), para variáveis contínuas: