Suponha que f(x)=e^-x, para x>0. Determine as seguintes probabilidades:
(a) P(X>1)
(b) P(1
© P(X=3)
(d) P(X >= 3)
(e) Determine x tal que P(X>x)=0,1
(f) Determine x tal que P(X >= x)=0,1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma função para e me pediu para calcular algumas probabilidades relacionadas a essa função. Isso faz parte do estudo de distribuições de probabilidade contínuas, mais especificamente da distribuição exponencial. Para resolver esses exercícios, vamos precisar entender como calcular probabilidades usando a função densidade de probabilidade (PDF) e a função de distribuição acumulada (CDF).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição exponencial. A função F(x) = 1 - e^-lambda x é a PDF de uma distribuição exponencial com parâmetro F(x) = 1 - e^-x . A PDF nos dá a densidade de probabilidade em cada ponto , e a CDF, que vamos chamar de , nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a .
A CDF para a distribuição exponencial é dada por:
Como , fica:

Passo 3

Agora vamos para a parte (a): P(X > 1) = 1 - P(X <= 1) = 1 - F(1) .
A probabilidade de F(1) = 1 - e^-1 ser maior que 1 é o complemento da probabilidade de P(X > 1) = 1 - (1 - e^-1) = e^-1 approx 0,3679 ser menor ou igual a 1. Ou seja:
Calculando :
Então:

Passo 4

Agora, na parte (b): P(1 < X < 2,5) = F(2,5) - F(1) .
Para encontrar essa probabilidade, calculamos a diferença entre a CDF em 2,5 e a CDF em 1:
F(2,5) = 1 - e^-2,5 F(1) = 1 - e^-1
Calculando cada termo:
P(1 < X < 2,5) = (1 - e^-2,5) - (1 - e^-1) = e^-1 - e^-2,5 approx 0,3679 - 0,0821 = 0,2858
Portanto:

Passo 5

Na parte ©: P(X = 3) = 0 .
Para variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de assumir exatamente um valor específico é sempre zero. Isso porque a área sob a curva em um único ponto é nula.
Então:

Passo 6

Parte (d): P(X >= 3) = P(X > 3) = 1 - F(3) = e^-3 approx 0,0498 .
Em distribuições contínuas, é igual a , já que a probabilidade em um ponto específico é zero.
Então:

Passo 7

Agora, parte (e): Determine P(X > x) = e^-x = 0,1 tal que -e^-x = ln(0,1) -x = ln(0,1) x = -ln(0,1) .
Queremos encontrar x = -ln(0,1) approx 2,3026 onde a probabilidade de ser maior que é 0,1:
Para encontrar , tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando:

Passo 8

Por fim, parte (f): Determine P(X >= x) = P(X > x) = e^-x = 0,1 tal que x = -ln(0,1) approx 2,3026 .
Assim como na parte (d), para variáveis contínuas:
Então, o cálculo é o mesmo que na parte (e):

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
(e) tal que
(f) tal que

Exercícios relacionados

Suponha que a função de distribuição acumulada da variável aleatória X seja:
F(x)=cc 0 & x<0 0,2 x & 0 <= x<4 0,04 x+0,64 & 4 <= x<9 1 & x >= 9
Determine: P(X>5)
Suponha que f(x)=x / 8, para 3. Determine as seguintes probabilidades:
(a) P(X<4)
(b) P(X>3,5)
© P(4
(d) P(X <= 4,5)
Suponha que f(x)=e^-x, para x>0. Determine as seguintes probabilidades: Determine x tal que P(X >= x)=0,1
Suponha que a função de distribuição acumulada da variável aleatória X seja:
F(x)=cc 0 & x<0 0,2 x & 0 <= x<4 0,04 x+0,64 & 4 <= x<9 1 & x >= 9
Determine: P(X<3)