Suponha que
, para
. Determine as seguintes probabilidades:
(a)
(b)
©
(d)
(e) Determine
tal que
(f) Determine
tal que
(a)
(b)
©
(d)
(e) Determine
(f) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma função
para
e me pediu para calcular algumas probabilidades relacionadas a essa função. Isso faz parte do estudo de distribuições de probabilidade contínuas, mais especificamente da distribuição exponencial. Para resolver esses exercícios, vamos precisar entender como calcular probabilidades usando a função densidade de probabilidade (PDF) e a função de distribuição acumulada (CDF).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição exponencial. A função
é a PDF de uma distribuição exponencial com parâmetro
. A PDF nos dá a densidade de probabilidade em cada ponto
, e a CDF, que vamos chamar de
, nos dá a probabilidade de que a variável aleatória
seja menor ou igual a
.
A CDF para a distribuição exponencial é dada por:
Como
, fica:
Passo 3
Agora vamos para a parte (a):
.
A probabilidade de
ser maior que 1 é o complemento da probabilidade de
ser menor ou igual a 1. Ou seja:
Calculando
:
Então:
Passo 4
Agora, na parte (b):
.
Para encontrar essa probabilidade, calculamos a diferença entre a CDF em 2,5 e a CDF em 1:
Calculando cada termo:
Portanto:
Passo 5
Na parte ©:
.
Para variáveis aleatórias contínuas, a probabilidade de
assumir exatamente um valor específico é sempre zero. Isso porque a área sob a curva em um único ponto é nula.
Então:
Passo 6
Parte (d):
.
Em distribuições contínuas,
é igual a
, já que a probabilidade em um ponto específico é zero.
Então:
Passo 7
Agora, parte (e): Determine
tal que
.
Queremos encontrar
onde a probabilidade de
ser maior que
é 0,1:
Para encontrar
, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Calculando:
Passo 8
Por fim, parte (f): Determine
tal que
.
Assim como na parte (d), para variáveis contínuas:
Então, o cálculo é o mesmo que na parte (e):
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(e)
tal que
(f)
tal que