Suponha que f(x)=e^-x, para x>0. Determine as seguintes probabilidades:
P(1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida para . Essa função é uma função de densidade de probabilidade para uma distribuição exponencial. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de que a variável aleatória esteja entre 1 e 2,5, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a probabilidade de P(a < X < b) = integrala^b f(x) , dx estar entre dois valores em uma distribuição contínua, a gente precisa integrar a função de densidade nesse intervalo. A fórmula geral para isso é:
No nosso caso, e , então vamos integrar entre esses limites.

Passo 3

Vamos fazer a integração:
integral1^2,5 e^-x , dx
A antiderivada de - e^-x g|1^2,5 = -e^-2,5 - (-e^-1) = e^-1 - e^-2,5 é . Então, aplicando os limites de integração:

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
e^-1 approx 0,3679
e^-2,5 approx 0,0821
Substituindo esses valores na expressão:
P(1 < X < 2,5) = 0,3679 - 0,0821 = 0,2858

Resposta

A probabilidade de estar entre 1 e 2,5 é aproximadamente 0,286.

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