Suponha que , para . Determine as seguintes probabilidades:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida para . Essa função é uma função de densidade de probabilidade para uma distribuição exponencial. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de que a variável aleatória esteja entre 1 e 2,5, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a probabilidade de estar entre dois valores em uma distribuição contínua, a gente precisa integrar a função de densidade nesse intervalo. A fórmula geral para isso é:
No nosso caso, e , então vamos integrar entre esses limites.

Passo 3

Vamos fazer a integração:
A antiderivada de é . Então, aplicando os limites de integração:

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Substituindo esses valores na expressão:

Resposta

A probabilidade de estar entre 1 e 2,5 é aproximadamente 0,286.

Exercícios relacionados

Suponha que , para . Determine as seguintes probabilidades:
Três jornais e são publicados em uma pequena cidade de 10 mil habitantes. Uma recente pesquisa entre os leitores indicou o seguinte: 2000 pessoas leem leem leem leem e leem e leem e , e 200 leem e . Para uma pessoa escolhida ao acaso dessa cidade, calcule a probabilidade de:
12a
ele não leia qualquer dos jornais.
Suponha que a função de distribuição da variável aleatória seja:
Determine o seguinte:
centro acadêmico de uma faculdade pretende iniciar uma campanha junto à direção da unidade acadêmica com vistas à melhoria das salas de informática. Para tal, fez uma enquete com todos os alunos e perguntou sobre o número de computadores que cada um tinha na sua residência.
Computadores Frequência
0 156
1 135
2 47
3 25
4 8
Total 371
(b) O Centro Acadêmico argumenta que o ideal é ter uma média de 1 computador por aluno, juntando os 20 da sala de informática da faculdade com os que os alunos têm em casa. Quantos computadores precisariam ser acrescentados à sala para atender o Centro Acadêmico?