Suponha que , para . Determine as seguintes probabilidades:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida para . Essa função é uma função de densidade de probabilidade para uma distribuição exponencial. Nosso objetivo aqui é calcular a probabilidade de que a variável aleatória esteja entre 1 e 2,5, ou seja, .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a probabilidade de estar entre dois valores em uma distribuição contínua, a gente precisa integrar a função de densidade nesse intervalo. A fórmula geral para isso é:
No nosso caso, e , então vamos integrar entre esses limites.
Passo 3
Vamos fazer a integração:
A antiderivada de é . Então, aplicando os limites de integração:
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores numéricos:
Substituindo esses valores na expressão:
Resposta
A probabilidade de estar entre 1 e 2,5 é aproximadamente 0,286.