Suponha que um fabricante afirme que uma certa droga fornece melhora dos sintomas de artrose e artrite em cavalos em 80 % dos casos após o uso contínuo por 7 dias.
A droga será administrada por 7 dias em 8 cavalos. Calcule a probabilidade de que 5 deles tenham melhora dos sintomas de artrose e artrite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de probabilidade binomial, que é quando temos um certo número de tentativas independentes, cada uma com uma probabilidade de sucesso. Aqui, temos 8 cavalos que vão receber a droga, e a probabilidade de cada um melhorar é de 80% (ou 0,8). A gente quer saber qual a chance de exatamente 5 desses cavalos melhorarem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula binomial:
  • n (número total de tentativas) = 8 cavalos
  • p (probabilidade de sucesso em cada tentativa) = 0,8
  • k (número de sucessos desejados) = 5 cavalos

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da probabilidade binomial, que é:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ C(n, k) $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente binomial $ C(8, 5) $:
C(8, 5)
Então, $ C(8, 5) = 56 $.

Passo 5

Agora, vamos calcular as potências de p e 1 - p:
p^k = 0,8^5 = 0,32768
(1 - p)^n - k = 0,2^3 = 0,008

Passo 6

Vamos multiplicar tudo junto para encontrar a probabilidade:
P(X = 5) = 56 times 0,32768 times 0,008 = 56 times 0,00262144 approx 0,1468

Resposta

A probabilidade de que exatamente 5 dos 8 cavalos melhorem os sintomas de artrose e artrite é de aproximadamente 14,7%.

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