Verificou-se que o número de quebras cromossômicas em um roedor, em um dia, num local poluído, pode ser considerado como uma variável aleatória que tenha distribuição de Poisson com parâmetro 0,1 . Realiza-se um experimento com 25 roedores dessa mesma espécie por 30 dias. Qual a probabilidade do número médio de quebras cromossômicas no experimento ser entre 3 e 4 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre quebras cromossômicas em roedores em um ambiente poluído. A gente sabe que o número de quebras em um dia para um roedor segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda = 0,1. Queremos descobrir a probabilidade de que, em um experimento com 25 roedores durante 30 dias, a média diária de quebras cromossômicas fique entre 3 e 4. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição de Poisson e aproximação normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente. A função de probabilidade da Poisson é dada por:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
onde lambda é o parâmetro da distribuição (taxa média de ocorrência) e k é o número de eventos.

Passo 3

No nosso caso, cada roedor tem uma taxa de quebra cromossômica de lambda = 0,1 por dia. Temos 25 roedores e o experimento dura 30 dias. Para encontrar a taxa total de quebras no experimento todo, multiplicamos:
lambdatotal = lambda times número de roedores times número de dias = 0,1 times 25 times 30 = 75 úú
Então, o número total de quebras cromossômicas no experimento segue uma distribuição de Poisson com lambda = 75.

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de que a média de quebras por dia esteja entre 3 e 4. Primeiro, vamos entender que a média de quebras por dia é:
Média = Total de quebrasNúmero de roedores times Número de dias = X750 éúú
onde X é o total de quebras no experimento.
Queremos:
3 <= X750 <= 4
Multiplicando tudo por 750:
225 <= X <= 300
Então, precisamos achar a probabilidade de que X esteja entre 225 e 300, ou seja, P(225 <= X <= 300).

Passo 5

Calcular essa probabilidade diretamente com a distribuição de Poisson de lambda = 75 é bem complicado, porque lambda é grande e os cálculos ficam difíceis. Por isso, vamos usar uma aproximação normal. A distribuição de Poisson se aproxima da distribuição normal quando lambda é grande.
A média da distribuição de Poisson é igual a lambda e o desvio padrão é raizlambda. Então, para lambda = 75:
mu = 75 e sigma = raiz75 approx 8,66
Agora, vamos transformar o intervalo 225 <= X <= 300 em termos da média total de quebras.

Passo 6

Precisamos calcular a probabilidade de X estar entre 225 e 300 usando a distribuição normal. Primeiro, padronizamos os valores:
Z = X - musigma
Para X = 225:
Z1 = 225 - 758,66 approx 17,32
Para X = 300:
Z2 = 300 - 758,66 approx 25,98
Valores de Z tão altos indicam que a probabilidade entre esses valores é praticamente zero, já que a maioria dos valores está concentrada perto da média.

Resposta

A probabilidade do número médio de quebras cromossômicas no experimento ser entre 3 e 4 é praticamente zero.

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