Verificou-se que o número de quebras cromossômicas em um roedor, em um dia, num local poluído, pode ser considerado como uma variável aleatória que tenha distribuição de Poisson com parâmetro 0,1 . Realiza-se um experimento com 25 roedores dessa mesma espécie por 30 dias. Qual a probabilidade do número médio de quebras cromossômicas no experimento ser entre 3 e 4 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre quebras cromossômicas em roedores em um ambiente poluído. A gente sabe que o número de quebras em um dia para um roedor segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Queremos descobrir a probabilidade de que, em um experimento com 25 roedores durante 30 dias, a média diária de quebras cromossômicas fique entre 3 e 4. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição de Poisson e aproximação normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa constante e de forma independente. A função de probabilidade da Poisson é dada por:
onde
é o parâmetro da distribuição (taxa média de ocorrência) e
é o número de eventos.
Passo 3
No nosso caso, cada roedor tem uma taxa de quebra cromossômica de
por dia. Temos 25 roedores e o experimento dura 30 dias. Para encontrar a taxa total de quebras no experimento todo, multiplicamos:
Então, o número total de quebras cromossômicas no experimento segue uma distribuição de Poisson com
.
Passo 4
Queremos saber a probabilidade de que a média de quebras por dia esteja entre 3 e 4. Primeiro, vamos entender que a média de quebras por dia é:
onde
é o total de quebras no experimento.
Queremos:
Multiplicando tudo por 750:
Então, precisamos achar a probabilidade de que
esteja entre 225 e 300, ou seja,
.
Passo 5
Calcular essa probabilidade diretamente com a distribuição de Poisson de
é bem complicado, porque
é grande e os cálculos ficam difíceis. Por isso, vamos usar uma aproximação normal. A distribuição de Poisson se aproxima da distribuição normal quando
é grande.
A média da distribuição de Poisson é igual a
e o desvio padrão é
. Então, para
:
Agora, vamos transformar o intervalo
em termos da média total de quebras.
Passo 6
Precisamos calcular a probabilidade de
estar entre 225 e 300 usando a distribuição normal. Primeiro, padronizamos os valores:
Para
:
Para
:
Valores de
tão altos indicam que a probabilidade entre esses valores é praticamente zero, já que a maioria dos valores está concentrada perto da média.
Resposta
A probabilidade do número médio de quebras cromossômicas no experimento ser entre 3 e 4 é praticamente zero.