Suponha que a força de atração gravitacional do Sol fosse subitamente desligada, de modo que a Terra se tornasse um objeto livre no lugar de estar confinada a orbitar em torno do Sol. Quanto tempo demoraria para a Terra atingir uma distância ao Sol igual ao raio da órbita atual de Plutão? (Dica: Você encontrará alguns dados necessários no Apêndice C.)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir quanto tempo a Terra levaria para chegar numa distância ao Sol igual ao raio da órbita atual de Plutão, caso a força de atração gravitacional do Sol desaparecesse de repente. Isso tá ligado à física, mais especificamente à mecânica clássica e às leis do movimento de Newton. Vamos precisar saber a velocidade orbital da Terra, a distância atual da Terra ao Sol e a distância de Plutão ao Sol para fazer nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando a força gravitacional do Sol é desligada. Sem a gravidade do Sol para manter a Terra em órbita, a Terra vai seguir em linha reta com a velocidade que tinha na sua órbita. Isso significa que ela vai se mover numa direção tangente à sua órbita atual, com uma velocidade constante, já que não tem força atuando para acelerar ou desacelerar.

Passo 3

Agora, vamos precisar de alguns dados:
  • Velocidade orbital da Terra ( ): aproximadamente metros por segundo.
  • Distância da Terra ao Sol ( ): aproximadamente metros (1 Unidade Astronômica, AU).
  • Distância de Plutão ao Sol ( ): aproximadamente metros.

Passo 4

Vamos imaginar que no instante em que a gravidade do Sol é desligada, a Terra está na posição e começa a se mover na direção tangente, ou seja, ao longo do eixo y. Então, a posição da Terra em qualquer tempo pode ser descrita pelas coordenadas:

Passo 5

A distância da Terra ao Sol em qualquer tempo será a distância entre o ponto e o ponto , que é dado pela fórmula da distância entre dois pontos:
â
No entanto, isso parece simplificado demais. Vamos reavaliar. O correto é considerar que a Terra está se movendo em linha reta a partir de sua posição original. Então, a distância ao Sol seria:
â

Passo 6

Queremos que essa distância seja igual à distância de Plutão ao Sol ( ):
Vamos resolver para :

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores:
Primeiro, calculamos :
(Como é muito maior que , é desprezável.)

Passo 8

Agora, calculamos a raiz quadrada de :
E dividimos pela velocidade :

Passo 9

Vamos converter o tempo de segundos para anos para ter uma ideia melhor:

Resposta

A Terra levaria aproximadamente 6,3 anos para atingir uma distância do Sol igual ao raio da órbita atual de Plutão, caso a força gravitacional do Sol fosse subitamente desligada.

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