Suponha que a força de atração gravitacional do Sol fosse subitamente desligada, de modo que a Terra se tornasse um objeto livre no lugar de estar confinada a orbitar em torno do Sol. Quanto tempo demoraria para a Terra atingir uma distância ao Sol igual ao raio da órbita atual de Plutão? (Dica: Você encontrará alguns dados necessários no Apêndice C.)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir quanto tempo a Terra levaria para chegar numa distância ao Sol igual ao raio da órbita atual de Plutão, caso a força de atração gravitacional do Sol desaparecesse de repente. Isso tá ligado à física, mais especificamente à mecânica clássica e às leis do movimento de Newton. Vamos precisar saber a velocidade orbital da Terra, a distância atual da Terra ao Sol e a distância de Plutão ao Sol para fazer nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando a força gravitacional do Sol é desligada. Sem a gravidade do Sol para manter a Terra em órbita, a Terra vai seguir em linha reta com a velocidade que tinha na sua órbita. Isso significa que ela vai se mover numa direção tangente à sua órbita atual, com uma velocidade constante, já que não tem força atuando para acelerar ou desacelerar.

Passo 3

Agora, vamos precisar de alguns dados:
  • Velocidade orbital da Terra ( ): aproximadamente metros por segundo.
  • Distância da Terra ao Sol ( ): aproximadamente metros (1 Unidade Astronômica, AU).
  • Distância de Plutão ao Sol ( ): aproximadamente metros.

Passo 4

Vamos imaginar que no instante em que a gravidade do Sol é desligada, a Terra está na posição x(t) = r e começa a se mover na direção tangente, ou seja, ao longo do eixo y. Então, a posição da Terra em qualquer tempo y(t) = v cdot t pode ser descrita pelas coordenadas:

Passo 5

A distância da Terra ao Sol em qualquer tempo Distância = raiz(x(t) - r)^2 + (y(t) - 0)^2 = raiz0 + (v cdot t)^2 = v cdot t será a distância entre o ponto Distância = raiz(r)^2 + (v cdot t)^2 e o ponto , que é dado pela fórmula da distância entre dois pontos:
â
No entanto, isso parece simplificado demais. Vamos reavaliar. O correto é considerar que a Terra está se movendo em linha reta a partir de sua posição original. Então, a distância ao Sol seria:
â

Passo 6

Queremos que essa distância seja igual à distância de Plutão ao Sol ( raizr^2 + (v cdot t)^2 = D ):
r^2 + (v cdot t)^2 = D^2
Vamos resolver para (v cdot t)^2 = D^2 - r^2 :
t^2 = D^2 - r^2v^2
t = raizD^2 - r^2v

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores:
r = 1.496 times 10^11 , m
D = 5.906 times 10^12 , m
v = 29.78 times 10^3 , m/s
Primeiro, calculamos D^2 = (5.906 times 10^12)^2 = 3.509 times 10^25 , m^2 :
r^2 = (1.496 times 10^11)^2 = 2.238 times 10^22 , m^2
D^2 - r^2 = 3.509 times 10^25 - 2.238 times 10^22 approx 3.509 times 10^25 , m^2
(Como é muito maior que , é desprezável.)

Passo 8

Agora, calculamos a raiz quadrada de raiz3.509 times 10^25 approx 5.92 times 10^12 , m :
t = 5.92 times 10^1229.78 times 10^3 approx 1.989 times 10^8 , s
E dividimos pela velocidade :

Passo 9

Vamos converter o tempo de segundos para anos para ter uma ideia melhor:
1 , ano approx 3.154 times 10^7 , s
t approx 1.989 times 10^83.154 times 10^7 approx 6.3 , anos

Resposta

A Terra levaria aproximadamente 6,3 anos para atingir uma distância do Sol igual ao raio da órbita atual de Plutão, caso a força gravitacional do Sol fosse subitamente desligada.

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