Suponha que a força de atração gravitacional do Sol fosse subitamente desligada, de modo que a Terra se tornasse um objeto livre no lugar de estar confinada a orbitar em torno do Sol. Quanto tempo demoraria para a Terra atingir uma distância ao Sol igual ao raio da órbita atual de Plutão? (Dica: Você encontrará alguns dados necessários no Apêndice C.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir quanto tempo a Terra levaria para chegar numa distância ao Sol igual ao raio da órbita atual de Plutão, caso a força de atração gravitacional do Sol desaparecesse de repente. Isso tá ligado à física, mais especificamente à mecânica clássica e às leis do movimento de Newton. Vamos precisar saber a velocidade orbital da Terra, a distância atual da Terra ao Sol e a distância de Plutão ao Sol para fazer nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando a força gravitacional do Sol é desligada. Sem a gravidade do Sol para manter a Terra em órbita, a Terra vai seguir em linha reta com a velocidade que tinha na sua órbita. Isso significa que ela vai se mover numa direção tangente à sua órbita atual, com uma velocidade constante, já que não tem força atuando para acelerar ou desacelerar.
Passo 3
Agora, vamos precisar de alguns dados:
- Velocidade orbital da Terra (
): aproximadamente metros por segundo. - Distância da Terra ao Sol (
): aproximadamente metros (1 Unidade Astronômica, AU). - Distância de Plutão ao Sol (
): aproximadamente metros.
Passo 4
Vamos imaginar que no instante em que a gravidade do Sol é desligada, a Terra está na posição
e começa a se mover na direção tangente, ou seja, ao longo do eixo y. Então, a posição da Terra em qualquer tempo
pode ser descrita pelas coordenadas:
Passo 5
A distância da Terra ao Sol em qualquer tempo
será a distância entre o ponto
e o ponto
, que é dado pela fórmula da distância entre dois pontos:
No entanto, isso parece simplificado demais. Vamos reavaliar. O correto é considerar que a Terra está se movendo em linha reta a partir de sua posição original. Então, a distância ao Sol seria:
Passo 6
Queremos que essa distância seja igual à distância de Plutão ao Sol (
):
Vamos resolver para
:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores:
Primeiro, calculamos
:
(Como
é muito maior que
,
é desprezável.)
Passo 8
Agora, calculamos a raiz quadrada de
:
E dividimos pela velocidade
:
Passo 9
Vamos converter o tempo de segundos para anos para ter uma ideia melhor:
Resposta
A Terra levaria aproximadamente 6,3 anos para atingir uma distância do Sol igual ao raio da órbita atual de Plutão, caso a força gravitacional do Sol fosse subitamente desligada.
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