A posição de uma partícula ao longo do cixo x depende do tempo de acordo com a equação x=A t^2-B t^3, onde x está em metros e t em segundos. (b) Em quanto tempo a partícula alcança sua máxima posição x positiva?

Passo 1

Vamos resolver um problema de movimento retilíneo onde a posição de uma partícula ao longo do eixo depende do tempo segundo a equação . Nosso objetivo é encontrar em quanto tempo a partícula atinge sua máxima posição positiva.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a máxima posição ocorre quando a partícula para de se mover para a frente e começa a se mover para trás. Matematicamente, isso acontece quando a velocidade da partícula é zero.

Passo 3

A velocidade v(t) = dxdt = 2A t - 3B t^2 é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Para encontrar o tempo em que a velocidade é zero (ou seja, quando a partícula atinge sua posição máxima), igualamos 2A t - 3B t^2 = 0 a zero:

Passo 5

Fatorando a equação:
t (2A - 3B t) = 0
Isso nos dá duas soluções: e .

Passo 6

Descartamos t = 2A3B porque queremos o tempo após o início do movimento. Portanto, a partícula atinge sua posição máxima positiva em:

Resposta

A partícula alcança sua máxima posição positiva em segundos.

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