Suponha que a função de distribuição acumulada da variável aleatória X seja:
F(x)=cc 0 & x<0 0,2 x & 0 <= x<4 0,04 x+0,64 & 4 <= x<9 1 & x >= 9
Determine:
(a) P(X<3)
(b) P(X>5)
© P(2
(d) P(X <= 8,5)
Obtenha a função densidade de probabilidade de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de distribuição acumulada (CDF) para uma variável aleatória . Nosso objetivo é calcular algumas probabilidades específicas ( , , etc.) e também encontrar a função densidade de probabilidade (PDF) de . Para isso, vamos usar conceitos de distribuição acumulada e densidade de probabilidade.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): F(x) = 0,2x .
A função de distribuição acumulada F(3) = 0,2 times 3 = 0,6 nos dá a probabilidade de P(X < 3) = 0,6 ser menor ou igual a um valor específico . Então, para , podemos usar .
Observando a função , vemos que para :
Como 3 está entre 0 e 4, substituímos:
Então,

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): P(X > 5) = 1 - F(5) .
A probabilidade de F(x) = 0,04x + 0,64 ser maior que 5 é igual a 1 menos a probabilidade de F(5) = 0,04 times 5 + 0,64 = 0,2 + 0,64 = 0,84 ser menor ou igual a 5:
P(X > 5) = 1 - 0,84 = 0,16
Primeiro, encontramos . Observando a função para :
Substituindo :
Então,

Passo 4

Vamos para a parte ©: P(2 < X < 6) = F(6) - F(2) .
Essa probabilidade pode ser calculada subtraindo F(6) = 0,04 times 6 + 0,64 = 0,24 + 0,64 = 0,88 de F(2) = 0,2 times 2 = 0,4 :
P(2 < X < 6) = 0,88 - 0,4 = 0,48
Primeiro, calculamos :
Para :
Agora, :
Para :
Então,

Passo 5

Agora, a parte (d): P(X <= 8,5) = F(8,5) .
Como F(8,5) = 0,04 times 8,5 + 0,64 = 0,34 + 0,64 = 0,98 é direto da CDF:
P(X <= 8,5) = 0,98
Para :
Então,

Passo 6

Por último, vamos obter a função densidade de probabilidade (PDF) de F(x) = 0 .
A PDF é a derivada da CDF f(x) = ddxF(x) = 0 . Vamos derivar cada parte da função F(x) = 0,2x :
Para f(x) = ddxF(x) = 0,2 :
F(x) = 0,04x + 0,64
f(x) = ddxF(x) = 0,04
Para F(x) = 1 :
f(x) = ddxF(x) = 0
f(x) = 0 & se x < 0 0,2 & se 0 <= x < 4 0,04 & se 4 <= x < 9 0 & se x >= 9
Para :
Para :
Então, a função densidade de probabilidade é:

Resposta

(a) f(x) = 0 & se x < 0 0,2 & se 0 <= x < 4 0,04 & se 4 <= x < 9 0 & se x >= 9
(b)
©
(d)
Função densidade de probabilidade de :

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