Suponha que a função de distribuição acumulada da variável aleatória seja:
Determine:
(a)
(b)
©
(d)
Obtenha a função densidade de probabilidade de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função de distribuição acumulada (CDF) para uma variável aleatória . Nosso objetivo é calcular algumas probabilidades específicas ( , , etc.) e também encontrar a função densidade de probabilidade (PDF) de . Para isso, vamos usar conceitos de distribuição acumulada e densidade de probabilidade.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): .
A função de distribuição acumulada nos dá a probabilidade de ser menor ou igual a um valor específico . Então, para , podemos usar .
Observando a função , vemos que para :
Como 3 está entre 0 e 4, substituímos:
Então,

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): .
A probabilidade de ser maior que 5 é igual a 1 menos a probabilidade de ser menor ou igual a 5:
Primeiro, encontramos . Observando a função para :
Substituindo :
Então,

Passo 4

Vamos para a parte ©: .
Essa probabilidade pode ser calculada subtraindo de :
Primeiro, calculamos :
Para :
Agora, :
Para :
Então,

Passo 5

Agora, a parte (d): .
Como é direto da CDF:
Para :
Então,

Passo 6

Por último, vamos obter a função densidade de probabilidade (PDF) de .
A PDF é a derivada da CDF . Vamos derivar cada parte da função :
Para :
Para :
Para :
Para :
Então, a função densidade de probabilidade é:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)
Função densidade de probabilidade de :

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(b) Construa o histograma.
Suponha que a função de distribuição acumulada da variável aleatória seja:
Determine:
Seja uma variável aleatória Normal padrão, determine as seguintes probabilidades: