Suponha que a função de distribuição acumulada da variável aleatória seja:
Obtenha a função densidade de probabilidade de X.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória e pede para a gente encontrar a função densidade de probabilidade (PDF) dessa mesma variável. A matéria envolvida aqui é Probabilidade, mais especificamente sobre como passar da CDF para a PDF. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que a PDF é basicamente a derivada da CDF.
Passo 2
Primeiro, bora entender o que é a função de distribuição acumulada (CDF). Ela nos diz a probabilidade de a variável aleatória f(x) = dF(x)dx ser menor ou igual a um certo valor . Já a função densidade de probabilidade (PDF) nos dá a probabilidade de assumir exatamente o valor . A relação entre elas é que a PDF é a derivada da CDF em relação a .
Matematicamente, isso é representado por:
Então, nosso plano é derivar a função em cada intervalo definido.
Passo 3
Vamos analisar cada parte da função F(x) = 0 :
Para f(x) = dF(x)dx = 0 :
F(x) = 0,2x
Derivando:
f(x) = dF(x)dx = 0,2
Para F(x) = 0,04x + 0,64 :
f(x) = dF(x)dx = 0,04
Derivando:
F(x) = 1
Para f(x) = dF(x)dx = 0 :
Derivando:
Para :
Derivando:
Passo 4
Com as derivações feitas, podemos escrever a função densidade de probabilidade f(x) = ll 0 & se x < 0 0,2 & se 0 <= x < 4 0,04 & se 4 <= x < 9 0 & se x >= 9 de forma segmentada:
Resposta
A função densidade de probabilidade de f(x) = ll 0 & se x < 0 0,2 & se 0 <= x < 4 0,04 & se 4 <= x < 9 0 & se x >= 9 é: