Suponha que a função de distribuição acumulada da variável aleatória X seja:
F(x)=cc 0 & x<0 0,2 x & 0 <= x<4 0,04 x+0,64 & 4 <= x<9 1 & x >= 9
Obtenha a função densidade de probabilidade de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de distribuição acumulada (CDF) de uma variável aleatória e pede para a gente encontrar a função densidade de probabilidade (PDF) dessa mesma variável. A matéria envolvida aqui é Probabilidade, mais especificamente sobre como passar da CDF para a PDF. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que a PDF é basicamente a derivada da CDF.

Passo 2

Primeiro, bora entender o que é a função de distribuição acumulada (CDF). Ela nos diz a probabilidade de a variável aleatória f(x) = dF(x)dx ser menor ou igual a um certo valor . Já a função densidade de probabilidade (PDF) nos dá a probabilidade de assumir exatamente o valor . A relação entre elas é que a PDF é a derivada da CDF em relação a .
Matematicamente, isso é representado por:
Então, nosso plano é derivar a função em cada intervalo definido.

Passo 3

Vamos analisar cada parte da função F(x) = 0 :
  1. Para f(x) = dF(x)dx = 0 :
    F(x) = 0,2x
    Derivando:
    f(x) = dF(x)dx = 0,2
  2. Para F(x) = 0,04x + 0,64 :
    f(x) = dF(x)dx = 0,04
    Derivando:
    F(x) = 1
  3. Para f(x) = dF(x)dx = 0 :
    Derivando:
  4. Para :
    Derivando:

Passo 4

Com as derivações feitas, podemos escrever a função densidade de probabilidade f(x) = ll 0 & se x < 0 0,2 & se 0 <= x < 4 0,04 & se 4 <= x < 9 0 & se x >= 9 de forma segmentada:

Resposta

A função densidade de probabilidade de f(x) = ll 0 & se x < 0 0,2 & se 0 <= x < 4 0,04 & se 4 <= x < 9 0 & se x >= 9 é:

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Seja Z uma variável aleatória Normal padrão, determine as seguintes probabilidades:
(a) P(Z<1,32)
(b) P(Z<-0,3)
© P(-2,34
(d) P(1,02
(e) P(-1
(f) P(-2
(g) P(-3
(h) P(0
Suponha que a função de distribuição acumulada da variável aleatória X seja:
F(x)=cc 0 & x<0 0,2 x & 0 <= x<4 0,04 x+0,64 & 4 <= x<9 1 & x >= 9
Determine: P(X<3)
Seja Z uma variável aleatória Normal padrão, determine as seguintes probabilidades: P(Z<-0,3)
Seja Z uma variável aleatória Normal padrão, determine o valor de z em cada caso: P(-z