Suponha que os gráficos de f(x)=x^2 e g(x)=2^x sejam feitos sobre uma malha coordenada onde a unidade de comprimento seja 1 centímetro. Mostre que, a uma distância de 1 m à direita da origem, a altura do gráfico de f é 100 m , mas a altura do gráfico de g é maior que 10^25 km.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções: f(x) = x^2 e g(x) = 2^x. A gente precisa calcular o valor de f(100) e g(100), já que estamos a 1 m (que é igual a 100 cm, porque a unidade de comprimento é em centímetros) à direita da origem. Para resolver isso, vamos usar a definição das funções e fazer algumas contas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de f(100). A função f(x) = x^2 é uma função quadrática que nos diz que para qualquer valor de x, vamos elevar x ao quadrado. Então:
f(100) = 100^2
Agora, fazendo essa conta:
100^2 = 10000
Aqui precisamos entender que a unidade de medida disponível é em centímetros. Portanto, 10000 cm é igual a 100 m, já que 1 m = 100 cm. Isso significa que a altura do gráfico de f a 1 m à direita da origem é 100 m!

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de g(100). A função g(x) = 2^x é uma função exponencial, o que significa que o valor cresce rapidamente conforme x aumenta. Vamos calcular:
g(100) = 2^100
O valor 2^100 é um número bem grande. Para ter uma ideia melhor de quão grande isso é, podemos usar a aproximação de que 2^10 approx 10^3. Portanto, precisamos ver quantas vezes estamos usando isso para chegar a 2^100:
2^100 = (2^10)^10 approx (10^3)^10 = 10^30
Então, 2^100 é próximo de 10^30, que são 30 zeros!

Passo 4

Agora, precisamos realmente comparar isso com 10^25 km. Primeiro, vamos converter km para cm, já que estamos trabalhando em centímetros. Sabemos que 1 km é igual a 10^5 cm, então:
10^25 km = 10^25 times 10^5 cm = 10^30 cm
Então, podemos ver que g(100) approx 10^30 cm, que é realmente maior do que 10^25 km.

Resposta

Portanto, a altura do gráfico de f a uma distância de 1 m da origem é 100 m, e a altura do gráfico de g é maior que 10^25 km.

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