Suponha que você receba uma oferta para trabalhar por apenas um mês. Qual das seguintes formas de pagamento você prefere? I. Um milhão de dólares no fim do mês.
II. Um centavo de dólar no primeiro dia do mês, dois centavos no segundo dia, quatro centavos no terceiro dia, e, em geral, 2^n-1 centavos de dólar no n-ésimo dia.

Passo 1

Beleza, vamos entender a questão! Temos aqui duas formas de pagamento: a primeira é receber um milhão de dólares no final do mês, e a segunda é receber um centavo no primeiro dia, dois centavos no segundo dia, quatro centavos no terceiro dia e assim por diante, seguindo a regra de que no n-ésimo dia você recebe 2^n-1 centavos. O conteúdo que estamos estudando aqui envolve progressões geométricas e somas. Para resolver, vamos calcular quanto você receberia na segunda opção ao final de 30 dias e comparar com o pagamento do primeiro mês.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como funciona a segunda opção de pagamento. Você recebe 2^n-1 centavos por dia. Então, no primeiro dia:
  • n=1, você recebe 2^1-1 = 2^0 = 1 centavo.
  • No segundo dia: n=2, você recebe 2^2-1 = 2^1 = 2 centavos.
  • E assim vai, até o trigésimo dia.
Para calcular quanto você recebe ao final do mês, temos que somar tudo isso até o 30º dia. A soma dos pagamentos diários (de centavos) no final de 30 dias é dada pela fórmula da soma de uma progressão geométrica:
Sn = a cdot q^n - 1q - 1
onde:
  • Sn é a soma dos primeiros n termos,
  • a é o primeiro termo,
  • q é a razão (que nesse caso é 2),
  • n é o número de termos (30 dias).
Aqui, a = 1 centavo e n = 30, então vamos aplicar os valores:
S30 = 1 cdot 2^30 - 12 - 1
Isso simplifica para:
S30 = 2^30 - 1

Passo 3

Agora precisamos calcular 2^30. Esse número é bastante grande. Vamos fazer essa conta. Sabendo que 2^10 = 1024, podemos calcular:
2^30 = (2^10)^3 = 1024^3
Fazendo essa conta (ou usando uma calculadora), 2^30 = 1073741824. Portanto, S30 = 1073741824 - 1 = 1073741823 centavos.

Passo 4

Agora, precisamos converter isso para dólares. Como o resultado está em centavos, basta dividir por 100:
Total em dólares = 1073741823 centavos100 = 10737418,23 dólares óó
Ou seja, você receberia aproximadamente 10737418,23 dólares na segunda opção.

Resposta

Comparando as duas opções, você ficaria com 10737418,23 dólares se optar pela segunda forma de pagamento e 1000000 dólares na primeira. Portanto, a melhor escolha é a segunda opção!

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