Uma linha de transmissão sem perdas possui impedância característica igual a 50 Omega e uma onda de tensão de 10 V e comprimento de onda de 1 m propagando-se ao longo de sua extensão. A carga possui uma impedância de 100+j 50 Omega. Calcule: Os valores máximos e mínimos da corrente na linha;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma linha de transmissão sem perdas com impedância característica de 50,Omega. Uma onda de tensão de 10,V está se propagando nessa linha, e o comprimento de onda é 1,m. A carga conectada no final da linha tem uma impedância de 100 + j50,Omega. Nosso objetivo aqui é calcular os valores máximos e mínimos da corrente nessa linha.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de linhas de transmissão, como impedância característica, coeficiente de reflexão, onda estacionária e como esses elementos se relacionam para determinar os valores de tensão e corrente ao longo da linha.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente de reflexão ( Gamma) na carga. Esse coeficiente nos diz quanto da onda refletida volta para a linha quando ela encontra a carga. A fórmula para Gamma é:
Gamma = ZL - Z0ZL + Z0
Onde:
  • ZL é a impedância da carga ( 100 + j50,Omega)
  • Z0 é a impedância característica da linha ( 50,Omega)
Vamos substituir os valores:
Gamma = (100 + j50) - 50(100 + j50) + 50 = 50 + j50150 + j50
Agora, para simplificar, podemos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Gamma = (50 + j50)(150 - j50)(150 + j50)(150 - j50) = 7500 - j2500 + j7500 - j^2 2500150^2 + 50^2
Lembrando que j^2 = -1:
Gamma = 7500 - j2500 + j7500 + 250022500 + 2500 = 10000 + j500025000 = 0,4 + j0,2

Passo 3

Agora que temos o coeficiente de reflexão Gamma = 0,4 + j0,2, vamos encontrar a magnitude |Gamma|, que nos indica a proporção da onda refletida em relação à onda incidente. A fórmula para a magnitude é:
|Gamma| = raizRe(Gamma)^2 + Im(Gamma)^2 = raiz0,4^2 + 0,2^2 = raiz0,16 + 0,04 = raiz0,2 approx 0,447
Isso significa que aproximadamente 44,7% da onda é refletida de volta para a linha.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o fator de onda estacionária ( VSWR), que nos dá uma ideia de quanta onda estacionária está presente na linha devido às ondas incidentes e refletidas. A fórmula do VSWR é:
VSWR = 1 + |Gamma|1 - |Gamma| = 1 + 0,4471 - 0,447 approx 1,4470,553 approx 2,62
Um VSWR de 2,62 indica que há variação na amplitude das ondas estacionárias na linha.

Passo 5

Agora, vamos determinar os valores máximos e mínimos da corrente na linha. Para isso, precisamos saber a corrente máxima ( Imax) e a corrente mínima ( Imin). A corrente na linha pode ser expressa como:
I(z) = I^+ (e^-jbeta z + Gamma e^jbeta z)
Onde:
  • I^+ é a amplitude da corrente incidente
  • beta é a constante de propagação ( beta = 2pilambda, com lambda = 1,m)
  • z é a posição ao longo da linha
Como estamos interessados nos valores máximos e mínimos da corrente, podemos usar a relação entre a tensão e a corrente na linha:
V(z) = V^+ (e^-jbeta z + Gamma e^jbeta z)
I(z) = V^+Z0 (e^-jbeta z - Gamma e^jbeta z)
Para obter os máximos e mínimos, observamos que eles ocorrem quando as funções seno e cosseno atingem seus valores máximos e mínimos. A amplitude da corrente máxima e mínima pode ser calculada usando o VSWR e a impedância característica.
Sabendo que:
Imax = VmaxZ0 cdot VSWR
Imin = VminZ0 / VSWR
Dado que Vmax = 10,V cdot (1 + |Gamma|) = 10,V cdot 1,447 = 14,47,V e Vmin = 10,V cdot (1 - |Gamma|) = 10,V cdot 0,553 = 5,53,V, podemos calcular:
Imax = 14,47,V50,Omega = 0,289,A
Imin = 5,53,V50,Omega = 0,111,A

Resposta

Os valores máximos e mínimos da corrente na linha são aproximadamente 0,289,A e 0,111,A, respectivamente.

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