Seja V um espaço vetorial real. Sejam W1 e W2 dois subespaços vetoriais de V . Mostre que W1@W2 é ainda um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Então, a gente tem um espaço vetorial real e dois subespaços dele, e . O exercício pede para mostrar que a interseção desses dois subespaços, que a gente está chamando de , também é um subespaço vetorial de . Para resolver isso, vamos lembrar quais são os critérios que definem um subespaço vetorial e verificar se a interseção atende a todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero do espaço precisa estar no subespaço.
  2. Fechado sob adição: Se a gente pegar dois vetores quaisquer dentro do subespaço e somar eles, o resultado também precisa estar no subespaço.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se a gente multiplicar qualquer vetor do subespaço por um número real (escalar), o resultado também precisa estar no subespaço.
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Como e são subespaços de , ambos contêm o vetor zero. Portanto, o vetor zero está na interseção .
Explicação: Qualquer subespaço vetorial sempre inclui o vetor zero por definição.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer e em . Isso significa que e estão tanto em quanto em .
Como é um subespaço, está em .
Como também é um subespaço, está em .
Portanto, está na interseção .
Explicação: A fecho sob adição garante que somar dois vetores do subespaço não sai do subespaço.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em e um escalar real.
Como é um subespaço, está em .
Como também é um subespaço, está em .
Portanto, está na interseção .
Explicação: A fecho sob multiplicação por escalar garante que multiplicar um vetor do subespaço por um número real não sai do subespaço.

Resposta

Então, mostramos que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Assim, é de fato um subespaço vetorial de .

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