Seja V um espaço vetorial real. Sejam W1 e W2 dois subespaços vetoriais de V . Mostre que W1@W2 é ainda um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Então, a gente tem um espaço vetorial real
e dois subespaços dele,
e
. O exercício pede para mostrar que a interseção desses dois subespaços, que a gente está chamando de
, também é um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, vamos lembrar quais são os critérios que definem um subespaço vetorial e verificar se a interseção
atende a todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor zero do espaço
precisa estar no subespaço. - Fechado sob adição: Se a gente pegar dois vetores quaisquer dentro do subespaço e somar eles, o resultado também precisa estar no subespaço.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se a gente multiplicar qualquer vetor do subespaço por um número real (escalar), o resultado também precisa estar no subespaço.
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Como e
são subespaços de
, ambos contêm o vetor zero. Portanto, o vetor zero está na interseção
.
Como
Explicação: Qualquer subespaço vetorial sempre inclui o vetor zero por definição.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer e
em
. Isso significa que
e
estão tanto em
quanto em
.
Vamos pegar dois vetores quaisquer
Como
é um subespaço,
está em
.
Como também é um subespaço,
está em
.
Como
Portanto,
está na interseção
.
Explicação: A fecho sob adição garante que somar dois vetores do subespaço não sai do subespaço.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor em
e um escalar
real.
Vamos pegar um vetor
Como
é um subespaço,
está em
.
Como também é um subespaço,
está em
.
Como
Portanto,
está na interseção
.
Explicação: A fecho sob multiplicação por escalar garante que multiplicar um vetor do subespaço por um número real não sai do subespaço.
Resposta
Então, mostramos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Assim,
é de fato um subespaço vetorial de
.