Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa de 10 %. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas, independentemente. Qual a probabilidade de se obter:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma linha de produção onde a chance de uma peça ser defeituosa é de 10%. A gente vai pegar uma amostra de 10 peças para inspecionar, e queremos descobrir qual é a probabilidade de obter certa quantidade de peças defeituosas nessa amostra. Para resolver isso, vamos usar probabilidades binomiais, que são super úteis quando temos um número fixo de tentativas e cada uma tem duas possibilidades: sucesso ou falha.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente sucessos em tentativas, quando a probabilidade de sucesso em cada tentativa é . No nosso caso:
  • Número de tentativas ( ) = 10 peças
  • Probabilidade de sucesso ( ) = 10% ou 0,10 (onde “sucesso” seria uma peça defeituosa)
  • Número de sucessos ( ) = a quantidade de peças defeituosas que queremos encontrar a probabilidade

Passo 3

A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de obter sucessos.
  • é a probabilidade de obter falhas.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade para um exemplo específico. Suponha que queremos saber a probabilidade de exatamente 2 peças serem defeituosas.
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
binom102 = 10!2!(10 - 2)! = 10 times 92 times 1 = 45
Agora, aplicamos na fórmula:
P(X = 2) = 45 times (0,10)^2 times (0,90)^8
Calculando passo a passo:
(0,10)^2 = 0,01
(0,90)^8 approx 0,43046721
45 times 0,01 times 0,43046721 approx 0,1937102445
Convertendo para porcentagem:
0,1937102445 times 100 approx 19,37%

Resposta

A probabilidade de obter exatamente 2 peças defeituosas em uma amostra de 10 é de aproximadamente 19,37%.

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