Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos por bola branca retirada e perdermos por bola preta retirada. Encontre o lucro esperado, o lucro mediano e a moda do lucro;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 pretas, totalizando 12 bolas. A gente vai retirar 3 bolas de uma vez. Cada bola branca vale R$200 de ganho e cada preta significa uma perda de R$100. Precisamos calcular três coisas:
  1. Lucro Esperado: É a média dos lucros que esperamos ter nessa retirada.
  2. Lucro Mediano: É o valor que separa a metade dos lucros menores da metade dos lucros maiores.
  3. Moda do Lucro: É o lucro que mais provavelmente vai acontecer.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição de probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis combinações de bolas que podemos tirar e o lucro correspondente para cada combinação.
  • Número de bolas brancas (W): Pode ser 0, 1, 2 ou 3.
  • Número de bolas pretas §: Como estamos tirando 3 bolas, P = 3 - W.
Vamos calcular o lucro para cada caso usando a fórmula:
Vamos ver cada possibilidade:
  1. W = 0:
  2. W = 1:
  3. W = 2:
  4. W = 3:
Então, os possíveis lucros são: -300, 0, 300 e 600 reais.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada número de bolas brancas sendo tiradas. Para isso, usamos a combinação de elementos:
Onde:
  • é o número total de bolas de uma cor.
  • é o número de bolas dessa cor que queremos tirar.
O total de maneiras de tirar 3 bolas de 12 é:
Agora, vamos calcular para cada W:
  1. W = 0 (todas pretas):
  2. W = 1:
  3. W = 2:
  4. W = 3:

Passo 4

Com as probabilidades e os lucros definidos, vamos calcular o Lucro Esperado usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Então, o Lucro Esperado é de aproximadamente R$76,00.

Passo 5

Para encontrar a Moda do Lucro, precisamos identificar qual lucro tem a maior probabilidade de ocorrer. Observando as probabilidades:
  • Lucro de -300:
  • Lucro de 0:
  • Lucro de 300:
  • Lucro de 600:
O maior valor de probabilidade é , que corresponde ao lucro de R$0. Portanto, a Moda do Lucro é R$0.

Passo 6

Para encontrar a Mediana do Lucro, precisamos organizar os lucros em ordem crescente e encontrar o valor que está no meio.
Como temos apenas quatro possíveis lucros (-300, 0, 300, 600), a mediana será a média dos dois lucros centrais:
Então, a Mediana do Lucro é de R$150,00.

Resposta

  • Lucro Esperado: R$76,00
  • Lucro Mediano: R$150,00
  • Moda do Lucro: R$0,00

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