Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos
por bola branca retirada e perdermos
por bola preta retirada. Encontre o lucro esperado, o lucro mediano e a moda do lucro;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 pretas, totalizando 12 bolas. A gente vai retirar 3 bolas de uma vez. Cada bola branca vale R$200 de ganho e cada preta significa uma perda de R$100. Precisamos calcular três coisas:
- Lucro Esperado: É a média dos lucros que esperamos ter nessa retirada.
- Lucro Mediano: É o valor que separa a metade dos lucros menores da metade dos lucros maiores.
- Moda do Lucro: É o lucro que mais provavelmente vai acontecer.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição de probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as possíveis combinações de bolas que podemos tirar e o lucro correspondente para cada combinação.
- Número de bolas brancas (W): Pode ser 0, 1, 2 ou 3.
- Número de bolas pretas §: Como estamos tirando 3 bolas, P = 3 - W.
Vamos calcular o lucro para cada caso usando a fórmula:
Vamos ver cada possibilidade:
-
W = 0:
-
W = 1:
-
W = 2:
-
W = 3:
Então, os possíveis lucros são: -300, 0, 300 e 600 reais.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada número de bolas brancas sendo tiradas. Para isso, usamos a combinação de elementos:
Onde:
-
é o número total de bolas de uma cor. -
é o número de bolas dessa cor que queremos tirar.
O total de maneiras de tirar 3 bolas de 12 é:
Agora, vamos calcular para cada W:
-
W = 0 (todas pretas):
-
W = 1:
-
W = 2:
-
W = 3:
Passo 4
Com as probabilidades e os lucros definidos, vamos calcular o Lucro Esperado usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Então, o Lucro Esperado é de aproximadamente R$76,00.
Passo 5
Para encontrar a Moda do Lucro, precisamos identificar qual lucro tem a maior probabilidade de ocorrer. Observando as probabilidades:
- Lucro de -300:
- Lucro de 0:
- Lucro de 300:
- Lucro de 600:
O maior valor de probabilidade é
, que corresponde ao lucro de R$0. Portanto, a Moda do Lucro é R$0.
Passo 6
Para encontrar a Mediana do Lucro, precisamos organizar os lucros em ordem crescente e encontrar o valor que está no meio.
Como temos apenas quatro possíveis lucros (-300, 0, 300, 600), a mediana será a média dos dois lucros centrais:
Então, a Mediana do Lucro é de R$150,00.
Resposta
- Lucro Esperado: R$76,00
- Lucro Mediano: R$150,00
- Moda do Lucro: R$0,00
Exercícios relacionados
b. Qual é a probabilidade de o frasco estar cheio com menos do que o valor nominal de 375 mililitros?
3 - Os tempos de vida útil de um determinado motor são distribuídos normalmentecomumamédia de8, 3anoseumdesvio padrãode0, 8ano.
a) Ache a probabilidade de um motor, escolhido aleatoriamente, possua umtempode vidainferior a7, 8 anos ( 1,25 ponto)
a) Ache a probabilidade de um motor, escolhido aleatoriamente, possua umtempode vidainferior a7, 8 anos ( 1,25 ponto)
Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa de
. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas, independentemente. Qual a probabilidade de se obter:
Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa de
. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas, independentemente. Qual a probabilidade de se obter: e) No máximo duas peças defeituosas?