Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa de 10 %. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas, independentemente. Qual a probabilidade de se obter: e) No máximo duas peças defeituosas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre uma linha de produção onde cada peça tem 10% de chance de ser defeituosa. A gente vai pegar uma amostra de 10 peças e quer saber qual a probabilidade de, no máximo, duas delas serem defeituosas. Vamos usar a Distribuição Binomial para resolver isso, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Distribuição Binomial. A probabilidade de exatamente P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k sucessos em tentativas é dada por:
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
  • é a probabilidade de fracasso.

Passo 3

No nosso caso:
  • (número de peças inspecionadas)
  • (probabilidade de uma peça ser defeituosa)
  • Queremos a probabilidade de no máximo 2 peças defeituosas, ou seja,
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente.

Passo 4

Primeiro, para P(X = 0) = binom100 (0,10)^0 (0,90)^10 = 1 times 1 times 0,90^10 approx 0,3487 :

Passo 5

Agora, para P(X = 1) = binom101 (0,10)^1 (0,90)^9 = 10 times 0,10 times 0,90^9 approx 0,3874 :

Passo 6

E para P(X = 2) = binom102 (0,10)^2 (0,90)^8 = 45 times 0,01 times 0,90^8 approx 0,1937 :

Passo 7

Agora, somamos as probabilidades de P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) approx 0,3487 + 0,3874 + 0,1937 approx 0,9298 :

Resposta

A probabilidade de obter no máximo duas peças defeituosas é aproximadamente 92,98%.

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