Suponha que o loop do EXERC1 seja substituído por um loop quadrado de 10 espiras com centro na origem e 20 cm de lado orientado em paralelo aos eixos x e y. Se B= z B0 x^2 cos 10^3 t e B0=100 T, determine a corrente no circuito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar a corrente em um circuito que é um loop quadrado de 10 espiras, cada uma com 20 cm de lado, orientado no plano xy. A gente tem um campo magnético que varia no tempo e depende da posição, dado por:
B = z B0 x^2 cos(10^3 t)
onde $ B_{0} = 100 , T $. Vamos precisar usar conceitos de fluxo magnético e a Lei de Faraday para encontrar a corrente induzida nesse circuito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo magnético. O fluxo magnético ($ \Phi $) através de uma superfície é dado por:
Phi
Como nosso campo magnético está na direção z ($ \hat{\mathbf{z}} $), e o loop está no plano xy, o $ d\mathbf{A} $ será também na direção z. Então, o produto escalar simplifica para:
Phi = integral B cdot dA

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo magnético através de uma única espira do loop. Cada espira é um quadrado de 20 cm de lado, ou seja, 0,2 m. A área ($ A $) de uma espira é:
A
Mas o campo $ B_z $ depende de $ x^2 $, então precisamos integrar sobre toda a área.

Passo 4

Vamos escolher coordenadas onde o centro do quadrado está na origem. Assim, os limites de $ x $ e $ y $ vão de -0,1 m a 0,1 m. O fluxo magnético para uma espira é:
x
Como $ B_0 \cos(10^3 t) $ é constante em relação a $ x $ e $ y $, podemos tirar da integral:
y

Passo 5

Integrando em $ x $ primeiro:
x
Agora, integrando em $ y $:
integral-0,1^0,1 x^2 , dx = [ x^33 ]-0,1^0,1 = (0,1)^33 - (-0,1)^33 = 0,0013 - -0,0013 = 0,0023 approx 0,0006667 , m^3
Então, o fluxo magnético por uma espira é:
y

Passo 6

Agora, como temos 10 espiras, o fluxo total do loop é 10 vezes o fluxo de uma espira:
Phitotal = 10 times 0,013334 cos(10^3 t) = 0,13334 cos(10^3 t) , Wb

Passo 7

Para encontrar a corrente induzida, usamos a Lei de Faraday da indução, que relaciona a variação do fluxo magnético com a força eletromotriz (EMF) induzida:
E = -dPhitotaldt
Vamos derivar $ \Phi_{total} $ em relação ao tempo:
Phitotal
Então, a EMF é:
dPhitotaldt = 0,13334 times (-10^3) sin(10^3 t) = -133,34 sin(10^3 t)

Passo 8

Agora, para encontrar a corrente $ I $ no circuito, precisamos usar a Lei de Ohm:
I
No entanto, o problema não fornece o valor da resistência $ R $. Como não temos essa informação, a corrente expressa dependerá do valor de $ R $. Portanto, a corrente no circuito é:
I = ER

Resposta

A corrente no circuito é dada por $ I(t) = \dfrac{133{,}34}{R} \sin(10^{3} t) $ amperes, onde $ R $ é a resistência do circuito.

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