Suponha que o loop do EXERC1 seja substituído por um loop quadrado de 10 espiras com centro na origem e 20 cm de lado orientado em paralelo aos eixos
e
. Se
e
, determine a corrente no circuito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar a corrente em um circuito que é um loop quadrado de 10 espiras, cada uma com 20 cm de lado, orientado no plano xy. A gente tem um campo magnético que varia no tempo e depende da posição, dado por:
onde $ B_{0} = 100 , T $. Vamos precisar usar conceitos de fluxo magnético e a Lei de Faraday para encontrar a corrente induzida nesse circuito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo magnético. O fluxo magnético ($ \Phi $) através de uma superfície é dado por:
Como nosso campo magnético está na direção z ($ \hat{\mathbf{z}} $), e o loop está no plano xy, o $ d\mathbf{A} $ será também na direção z. Então, o produto escalar simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo magnético através de uma única espira do loop. Cada espira é um quadrado de 20 cm de lado, ou seja, 0,2 m. A área ($ A $) de uma espira é:
Mas o campo $ B_z $ depende de $ x^2 $, então precisamos integrar sobre toda a área.
Passo 4
Vamos escolher coordenadas onde o centro do quadrado está na origem. Assim, os limites de $ x $ e $ y $ vão de -0,1 m a 0,1 m. O fluxo magnético para uma espira é:
Como $ B_0 \cos(10^3 t) $ é constante em relação a $ x $ e $ y $, podemos tirar da integral:
Passo 5
Integrando em $ x $ primeiro:
Agora, integrando em $ y $:
Então, o fluxo magnético por uma espira é:
Passo 6
Agora, como temos 10 espiras, o fluxo total do loop é 10 vezes o fluxo de uma espira:
Passo 7
Para encontrar a corrente induzida, usamos a Lei de Faraday da indução, que relaciona a variação do fluxo magnético com a força eletromotriz (EMF) induzida:
Vamos derivar $ \Phi_{total} $ em relação ao tempo:
Então, a EMF é:
Passo 8
Agora, para encontrar a corrente $ I $ no circuito, precisamos usar a Lei de Ohm:
No entanto, o problema não fornece o valor da resistência $ R $. Como não temos essa informação, a corrente expressa dependerá do valor de $ R $. Portanto, a corrente no circuito é:
Resposta
A corrente no circuito é dada por $ I(t) = \dfrac{133{,}34}{R} \sin(10^{3} t) $ amperes, onde $ R $ é a resistência do circuito.